（1）在$y=-x+4$中，令$x=0$得$y=4$，

$\therefore B\left(0,4\right)$，

$\because OC=\frac{1}{2}OB=2$，

$\therefore C\left(-2,0\right)$，

设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+b$，

$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，

解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，

$\therefore y=2x+4$；

$(2)$设$P\left(m,2m+4\right)$，$m \lt 0$，

$\because \triangle BPD$是等腰直角三角形，

$\therefore S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}BD\cdot PD=\frac{1}{2}BD^{2}=\frac{1}{4}PB^{2}$，

$\because B\left(0,4\right)$，

$\therefore PB^{2}=m^{2}+\left(2m+4-4\right)^{2}=5m^{2}$，

$\therefore S_{\triangle BPD}=\frac{5}{4}m^{2}$，

在$y=-x+4$中，令$y=0$得$x=4$，

$\therefore A\left(4,0\right)$，

$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot OB=\frac{1}{2}\left[4-\left(-2\right)\right]\times 4=12$，

$\because S_{\triangle BPD}=\frac{1}{5}S_{\triangle ABC}$，

$\therefore \frac{5}{4}m^{2}=\frac{12}{5}$，

解得$m=\pm \frac{4\sqrt{3}}{5}$，

$\because m \lt 0$，

$\therefore m=-\frac{4\sqrt{3}}{5}$，

$\therefore P(-\frac{4\sqrt{3}}{5}$，$-\frac{8\sqrt{3}}{5}+4)$；

$(3)\angle ODE$是定值，$\angle ODE$的度数为$45^{\circ}$，理由如下：

延长$DE$到$G$，使$EG=DE$，连接$AG$，$OG$，如图：

设$\angle PAC={x}^{\circ }$，$\angle GAO=y^{\circ}$，

$\because EP=EA$，$\angle DEP=\angle GEA$，

$\therefore \triangle AEG$≌$\triangle PED\left(SAS\right)$，

$\therefore AG=PD$，$\angle DPE=x^{\circ}+y^{\circ}$，

$\because \angle BPA=\angle PCO+\angle PAC$，$\angle BPA=\angle BPD+\angle DPA$，

$\therefore \angle PCO=45^{\circ}+x^{\circ}+y^{\circ}-x^{\circ}=45^{\circ}+y^{\circ}$，

$\therefore \angle CBO=90^{\circ}-\left(45^{\circ}+y^{\circ}\right)=45^{\circ}-y^{\circ}$，

$\because \angle PBD=45^{\circ}$，

$\therefore \angle OBD=y^{\circ}=\angle GAO$，

$\because AG=PD$，$PD=BD$，

$\therefore AG=BD$，

$\because OA=OB$，

$\therefore \triangle OBD$≌$\triangle OAG\left(SAS\right)$，

$\therefore OD=OG$，$\angle BOD=\angle AOG$，

$\therefore \angle DOG=\angle BOA=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ODE=\angle OGD=45^{\circ}$.

（1）在$y=-x+4$中，令$x=0$得$y=4$，

$\therefore B\left(0,4\right)$，

$\because OC=\frac{1}{2}OB=2$，

$\therefore C\left(-2,0\right)$，

设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+b$，

$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，

解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，

$\therefore y=2x+4$；

$(2)$设$P\left(m,2m+4\right)$，$m \lt 0$，

$\because \triangle BPD$是等腰直角三角形，

$\therefore S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}BD\cdot PD=\frac{1}{2}BD^{2}=\frac{1}{4}PB^{2}$，

$\because B\left(0,4\right)$，

$\therefore PB^{2}=m^{2}+\left(2m+4-4\right)^{2}=5m^{2}$，

$\therefore S_{\triangle BPD}=\frac{5}{4}m^{2}$，

在$y=-x+4$中，令$y=0$得$x=4$，

$\therefore A\left(4,0\right)$，

$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot OB=\frac{1}{2}\left[4-\left(-2\right)\right]\times 4=12$，

$\because S_{\triangle BPD}=\frac{1}{5}S_{\triangle ABC}$，

$\therefore \frac{5}{4}m^{2}=\frac{12}{5}$，

解得$m=\pm \frac{4\sqrt{3}}{5}$，

$\because m \lt 0$，

$\therefore m=-\frac{4\sqrt{3}}{5}$，

$\therefore P(-\frac{4\sqrt{3}}{5}$，$-\frac{8\sqrt{3}}{5}+4)$；

$(3)\angle ODE$是定值，$\angle ODE$的度数为$45^{\circ}$，理由如下：

延长$DE$到$G$，使$EG=DE$，连接$AG$，$OG$，如图：

设$\angle PAC={x}^{\circ }$，$\angle GAO=y^{\circ}$，

$\because EP=EA$，$\angle DEP=\angle GEA$，

$\therefore \triangle AEG$≌$\triangle PED\left(SAS\right)$，

$\therefore AG=PD$，$\angle DPE=x^{\circ}+y^{\circ}$，

$\because \angle BPA=\angle PCO+\angle PAC$，$\angle BPA=\angle BPD+\angle DPA$，

$\therefore \angle PCO=45^{\circ}+x^{\circ}+y^{\circ}-x^{\circ}=45^{\circ}+y^{\circ}$，

$\therefore \angle CBO=90^{\circ}-\left(45^{\circ}+y^{\circ}\right)=45^{\circ}-y^{\circ}$，

$\because \angle PBD=45^{\circ}$，

$\therefore \angle OBD=y^{\circ}=\angle GAO$，

$\because AG=PD$，$PD=BD$，

$\therefore AG=BD$，

$\because OA=OB$，

$\therefore \triangle OBD$≌$\triangle OAG\left(SAS\right)$，

$\therefore OD=OG$，$\angle BOD=\angle AOG$，

$\therefore \angle DOG=\angle BOA=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ODE=\angle OGD=45^{\circ}$.