D

$A.\because k=2m$，
当$m \gt 0$时，$y$随$x$的增大而增大，
当$m \lt 0$时，$y$随$x$的增大而减小，
故$A$不正确；
$B$.当$m=3$时，$k=2m=6$，
$\therefore y=6x-14$，
$\therefore y=-6x$与$y=6x-14$不平行，
故$B$不正确；
$C.\because y=2mx-4m-2=2m\left(x-2\right)-2$，
$\therefore$当$x=2$时，$y=-2$，
$\therefore$图象都经过点$\left(2,-2\right)$，
故$C$不正确；
$D.\because y=2mx-4m-2=2m\left(x-2\right)-2$，
$\therefore$当$x=2$时，$y=-2$，
$\therefore$图象都经过点$\left(2,-2\right)$，
$\therefore$图象都经过第四象限，
故$D$正确；
故选：$D$.