C

连接$OA$和$OC$，
$\because$点$P$在$y$轴上$,AB$∥$y$轴，则$\triangle AOC$和$\triangle APC$面积相等，
$\because$点$A$在反比例函数$y_1=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，过点$A$作$AB\bot x$轴，垂足为$B$，交反比例函数$y_2=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象于点$C$，
$\therefore S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\times 12=6$，$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×4=2$，
$\therefore S_{\triangle AOC}=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OBC}=4$，
$\therefore \triangle APC$的面积为$4$，
故选：$C$.