C

$\because$反比例函数图象在第二象限，
$\therefore k \lt 0$，选项$A$错误.
$\because x \lt 0$时，$y$随$x$增大而增大，
$\therefore$选项$B$错误，
由反比例函数系数$k$的几何意义可得矩形$OABC$面积为$|k|=2$，
$\therefore k=-2$，选项$C$正确.
图象上点$B$的坐标是$\left(-2,1\right)$，则当$x \lt -2$时，$y$的取值范围是$0 \lt y \lt 1$，
故$D$错误.
故选：$C$.