由图象上的点$\left(x,y\right)$所构成的矩形面积是$6$可知：$|k|=6$，

又因为$k \gt 0$，图象在第一、三象限内，

所以可知反比例函数的系数$k=6$，

则函数的表达式是$y=\dfrac{6}{x}$.

又点$A\left(-3,m\right)$在这个反比例函数的图象上，

则$m=\dfrac{6}{-3}=-2$，

故答案为：$y=\dfrac{6}{x}$、$-2$.

由图象上的点$\left(x,y\right)$所构成的矩形面积是$6$可知：$|k|=6$，

又因为$k \gt 0$，图象在第一、三象限内，

所以可知反比例函数的系数$k=6$，

则函数的表达式是$y=\dfrac{6}{x}$.

又点$A\left(-3,m\right)$在这个反比例函数的图象上，

则$m=\dfrac{6}{-3}=-2$，

故答案为：$y=\dfrac{6}{x}$、$-2$.