B

分别过点$A$和点$C$作$y$轴的垂线，垂足分别为$M$和$N$，

将$A$，$C$两点的横坐标代入函数解析式得，
点$A$坐标为$(m$，$-m^{2}+4)$，点$C$坐标为$(n$，$-n^{2}+4)$，
所以$AM=m$，$MO=-m^{2}+4$，$CN=n$，$NO=-n^{2}+4$.
因为四边形$ABCD$是正方形，
所以$AD=CD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
所以$\angle CDN+\angle ADM=\angle ADM+\angle DAM=90^{\circ}$，
所以$\angle CDN=\angle DAM$.
在$\triangle CDN$和$\triangle DAM$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CND=∠DMA}\\{∠CDN=∠DAM}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
所以$\triangle CDN$≌$\triangle DAM\left(AAS\right)$，
所以$DM=CN=n$，$DN=AM=m$，
所以$MN=DM+DN=m+n$，
又因为$MN=NO-MO=m^{2}-n^{2}$，
所以$m^{2}-n^{2}=m+n$，
即$\left(m+n\right)\left(m-n\right)=m+n$，
因为$m \gt n \gt 0$，
所以$m+n\neq 0$，
所以$m-n=1$.
故选：$B$.