已知$c$是最小的两位正整数,且$a$,$b$满足$\left(a+26\right)^{2}+|b+c|=0$,请回答问题:
$(1)$请直接写出$a$,$b$,$c$的值:$a=$______,$b=$______,$c=$______；
$(2)$在数轴上$a$,$b$,$c$所对应的点分别为$A$,$B$,$C$,点$P$为该数轴的动点,其对应的数为$x$,点$P$在点$A$与点$C$之间运动时（包括端点）,则点$A$与点$P$之间的距离为______,点$C$与点$P$之间的距离为______；
$(3)$在（1）和（2）的条件下,若点$M$从点$A$出发,以每秒$1$个单位长度的速度向终点$C$移动,当点$M$运动到点$B$时,点$N$从点$A$出发,以每秒$3$个单位长度向点$C$运动,点$N$到达点$C$后,再立即以同样的速度返回点$A$.设点$M$移动时间为$t$秒,当点$N$开始运动后,请用含$t$的代数式表示$M$、$N$两点间的距离.