$\because x-6$和$3x+14$是一个正数的两个不同的平方根，
$\therefore x-6+3x+14=0$，
$\therefore 4x+8=0$，
解得：$x=-2$，
$\therefore$这个正数为：$\left(-2-6\right)^{2}=\left(-8\right)^{2}=64$，
$\because 2x+y$是这个正数的立方根，
$\therefore 2y+2=\sqrt[3]{64}=4$，
解得：$y=1$，
$\therefore x$，$y$的值分别为$-2$，$1$；
$(2)$当$x=-2$时，$1-4x=1-4\times \left(-2\right)=1+8=9$，
$\therefore 9$的算术平方根是$3$，即$1-4x$的算术平方根是$3$.

$\because x-6$和$3x+14$是一个正数的两个不同的平方根，
$\therefore x-6+3x+14=0$，
$\therefore 4x+8=0$，
解得：$x=-2$，
$\therefore$这个正数为：$\left(-2-6\right)^{2}=\left(-8\right)^{2}=64$，
$\because 2x+y$是这个正数的立方根，
$\therefore 2y+2=\sqrt[3]{64}=4$，
解得：$y=1$，
$\therefore x$，$y$的值分别为$-2$，$1$；
$(2)$当$x=-2$时，$1-4x=1-4\times \left(-2\right)=1+8=9$，
$\therefore 9$的算术平方根是$3$，即$1-4x$的算术平方根是$3$.