现有甲、乙、丙三张正方形卡片,卡片的边长如图$1$所示$\left(a \gt 0\right)$.某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图$2$,其阴影部分面积记为$S_{1}$；图$3$为乙卡片,其面积记为$S_{2}$.

$(1)$化简式子$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$,并求当$a=10$时,该式子的值；
$(2)$当$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{7}{3}$时,求$a$的值.