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八年级数学解答题一般
题目
现有甲、乙、丙三张正方形卡片,卡片的边长如图11所示(a>0)\left(a \gt 0\right).某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图22,其阴影部分面积记为S1S_{1}；图33为乙卡片,其面积记为S2S_{2}.

(1)(1)化简式子S1S2\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}},并求当a=10a=10时,该式子的值；
(2)(2)当S1S2=73\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{7}{3}时,求aa的值.
知识点：完全平方公式、因式分解的应用章节：第16章 整式的乘法 / 16.3 乘法公式 / 16.3.2 完全平方公式

答案与解析

答案

（1）由题意可知，S1=(2a+3)2−(a+1)2{S}_{1}={(2a+3)}^{2}-{(a+1)}^{2}，S2=(a+2)2{S}_{2}={(a+2)}^{2}，
∴S1S2=(2a+3)2−(a+1)2(a+2)2=3a2+10a+8(a+2)2=(3a+4)(a+2)(a+2)2=3a+4a+2\therefore \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{{(2a+3)}^{2}-{(a+1)}^{2}}{{(a+2)}^{2}}=\frac{3{a}^{2}+10a+8}{{(a+2)}^{2}}=\frac{(3a+4)(a+2)}{{(a+2)}^{2}}=\frac{3a+4}{a+2}，
当a=10a=10时，S1S2=3a+4a+2=3×10+410+2=176\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{3a+4}{a+2}=\frac{3×10+4}{10+2}=\frac{17}{6}.
(2)∵S1S2=3a+4a+2=73(2)\because \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{3a+4}{a+2}=\frac{7}{3}，
∴3(3a+4)=7(a+2)\therefore 3\left(3a+4\right)=7\left(a+2\right)，
解得，a=1a=1，
经检验，a=1a=1是原分式方程的解.

解析

（1）由题意可知，S1=(2a+3)2−(a+1)2{S}_{1}={(2a+3)}^{2}-{(a+1)}^{2}，S2=(a+2)2{S}_{2}={(a+2)}^{2}，
∴S1S2=(2a+3)2−(a+1)2(a+2)2=3a2+10a+8(a+2)2=(3a+4)(a+2)(a+2)2=3a+4a+2\therefore \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{{(2a+3)}^{2}-{(a+1)}^{2}}{{(a+2)}^{2}}=\frac{3{a}^{2}+10a+8}{{(a+2)}^{2}}=\frac{(3a+4)(a+2)}{{(a+2)}^{2}}=\frac{3a+4}{a+2}，
当a=10a=10时，S1S2=3a+4a+2=3×10+410+2=176\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{3a+4}{a+2}=\frac{3×10+4}{10+2}=\frac{17}{6}.
(2)∵S1S2=3a+4a+2=73(2)\because \frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{3a+4}{a+2}=\frac{7}{3}，
∴3(3a+4)=7(a+2)\therefore 3\left(3a+4\right)=7\left(a+2\right)，
解得，a=1a=1，
经检验，a=1a=1是原分式方程的解.

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