解关于$x$的方程$\frac{2x-m}{x-2}=3$得$x=-m+6$，
$\because x-2\neq 0$，解得$x\neq 2$，
$\because$方程的解是正数，
$\therefore -m+6 \gt 0$且$-m+6\neq 2$，
解这个不等式得$m \lt 6$且$m\neq 4$.
故答案为：$m \lt 6$且$m\neq 4$.

解关于$x$的方程$\frac{2x-m}{x-2}=3$得$x=-m+6$，
$\because x-2\neq 0$，解得$x\neq 2$，
$\because$方程的解是正数，
$\therefore -m+6 \gt 0$且$-m+6\neq 2$，
解这个不等式得$m \lt 6$且$m\neq 4$.
故答案为：$m \lt 6$且$m\neq 4$.