$\left(1\right)\because$点$C\left(a,-4\right)$在直线$y=-2x$上，
$\therefore -2a=-4$，
解得$a=2$，
$\therefore C\left(2,-4\right)$，
将$A\left(4,0\right)$，$C\left(2,-4\right)$代入直线$y=kx+b$，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$AB$的解析式为：$y=2x-8$；
$(2)$设点$P$的坐标为$\left(0,p\right)$，
$\because$直线$AB$的解析式为：$y=2x-8$，
$\therefore B\left(0,-8\right)$，
$\therefore BP=|p+8|$，
$\because \triangle PBC$的面积为$6$，$C\left(2,-4\right)$，
$\therefore S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times 2|p+8|=6$，
$\therefore p=-2$或$-14$，
$\therefore$点$P$的坐标为$\left(0,-2\right)$或$\left(0,-14\right)$；
$(3)$存在，
以$B$，$C$，$Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当$BC=BQ$时，过点$C$作$CM\bot y$轴于$M$，过点$Q$作$QN\bot y$轴于$N$，

$\therefore \angle BMC=\angle QNB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM+\angle BCM=90^{\circ}$，
$\because \angle QBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM+\angle QBN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCM=\angle QBN$，
$\because BC=BQ$，
$\therefore \triangle BCM$≌$\triangle QBN\left(AAS\right)$，
$\therefore QN=BM$，$BN=CM$，
$\because B\left(0,-8\right)$，$C\left(2,-4\right)$，
$BM=4$，$CM=2$，
$\therefore QN=BM=4$，
$\therefore m=4$；
②当$BC=CQ$时，过点$C$作$CM\bot y$轴于$M$，延长$MC$交直线$l$于$N$，

同理：$\triangle BCM$≌$\triangle CQN\left(AAS\right)$，
$\therefore QN=CM=2$，$BM=CN=4$，
$\therefore MN=MC+CN=6$
$\therefore m=6$；
③当$BQ=CQ$时，过点$C$作$CM\bot$直线$l$于$M$，过点$B$作$BN\bot$直线$l$于$N$，

同理：$\triangle QCM$≌$\triangle BQN\left(AAS\right)$，
$\therefore QN=CM$，$BN=QM$，
设$Q\left(m,t\right)$，
$\because B\left(0,-8\right)$，$C\left(2,-4\right)$，
$\therefore CM=m-2$，$BN=m$，$MN=8-4=4$，$QN=t+8$，$QM=-4-t$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-2=t+8}\\{-4-t=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{t=-7}\end{array}\right.$
$\therefore m=3$；
综上，若以$B$，$C$，$Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形，$m$的值为$4$或$6$或$3$.

$\left(1\right)\because$点$C\left(a,-4\right)$在直线$y=-2x$上，
$\therefore -2a=-4$，
解得$a=2$，
$\therefore C\left(2,-4\right)$，
将$A\left(4,0\right)$，$C\left(2,-4\right)$代入直线$y=kx+b$，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$AB$的解析式为：$y=2x-8$；
$(2)$设点$P$的坐标为$\left(0,p\right)$，
$\because$直线$AB$的解析式为：$y=2x-8$，
$\therefore B\left(0,-8\right)$，
$\therefore BP=|p+8|$，
$\because \triangle PBC$的面积为$6$，$C\left(2,-4\right)$，
$\therefore S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times 2|p+8|=6$，
$\therefore p=-2$或$-14$，
$\therefore$点$P$的坐标为$\left(0,-2\right)$或$\left(0,-14\right)$；
$(3)$存在，
以$B$，$C$，$Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当$BC=BQ$时，过点$C$作$CM\bot y$轴于$M$，过点$Q$作$QN\bot y$轴于$N$，

$\therefore \angle BMC=\angle QNB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM+\angle BCM=90^{\circ}$，
$\because \angle QBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM+\angle QBN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCM=\angle QBN$，
$\because BC=BQ$，
$\therefore \triangle BCM$≌$\triangle QBN\left(AAS\right)$，
$\therefore QN=BM$，$BN=CM$，
$\because B\left(0,-8\right)$，$C\left(2,-4\right)$，
$BM=4$，$CM=2$，
$\therefore QN=BM=4$，
$\therefore m=4$；
②当$BC=CQ$时，过点$C$作$CM\bot y$轴于$M$，延长$MC$交直线$l$于$N$，

同理：$\triangle BCM$≌$\triangle CQN\left(AAS\right)$，
$\therefore QN=CM=2$，$BM=CN=4$，
$\therefore MN=MC+CN=6$
$\therefore m=6$；
③当$BQ=CQ$时，过点$C$作$CM\bot$直线$l$于$M$，过点$B$作$BN\bot$直线$l$于$N$，

同理：$\triangle QCM$≌$\triangle BQN\left(AAS\right)$，
$\therefore QN=CM$，$BN=QM$，
设$Q\left(m,t\right)$，
$\because B\left(0,-8\right)$，$C\left(2,-4\right)$，
$\therefore CM=m-2$，$BN=m$，$MN=8-4=4$，$QN=t+8$，$QM=-4-t$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m-2=t+8}\\{-4-t=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{t=-7}\end{array}\right.$
$\therefore m=3$；
综上，若以$B$，$C$，$Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形，$m$的值为$4$或$6$或$3$.