D

由题知，
由$x+3=-x$得，
$x=-\frac{3}{2}$，
所以函数$y=x+3$的图象与直线$y=-x$的交点为（$-\frac{3}{2}，\frac{3}{2})$.
故$A$选项不符合题意.
将$x=-3$代入$y=x+3$得，
$y=-3+3=0$，
所以函数$y=x+3$的图象经过点$\left(-3,0\right)$.
故$B$选项不符合题意.
因为函数$y=x+3$的图象经过点$\left(-3,0\right)$，且$y$随$x$的增大而增大，
所以函数$y=x+3$的图象经过第三象限.
故$C$选项不符合题意.
因为函数$y=x+3$中$y$随$x$的增大而增大，
故$D$选项符合题意.
故选：$D$.