（1）将点$C$的坐标代入$y=-2x$得：$-4=-2a$，则$a=2$，

即点$C\left(2,-4\right)$，

将点$C$的坐标代入$AB$的表达式得：$-4=2k-8$，则$k=2$，

则直线$AB$的表达式为：$y=2x-8$；

$(2)$设点$P\left(0,y\right)$，

则$\triangle PBC$的面积$=\frac{1}{2}\color{red}{×}PB\times x_{C}=\frac{1}{2}\color{red}{×}|y+8|=6$，

解得：$y=-2$或$-14$，

即点$P\left(0,-2\right)$或$\left(0,-14\right)$；

$(3)$设点$Q\left(0,y\right)$，

由点$B$、$C$、$Q$的坐标得，$BC^{2}=20$，$BQ^{2}=\left(y+8\right)^{2}$，$QC^{2}=4+\left(y+4\right)^{2}$，

当$BC=BQ$时，则$20=\left(y+8\right)^{2}$，

解得：$y=-8\pm 2\sqrt{5}$，即点$Q(0$，$-8+2\sqrt{5}$）或$(0$，$-8-2\sqrt{5})$，

当$BC=CQ$或$BQ=CQ$时，

同理可得：$\left(y+8\right)^{2}=4+\left(y+4\right)^{2}$或$20=4+\left(y+4\right)^{2}$，

解得：$y=-8(舍去)$或$0$或$-5.5$，

即点$Q\left(0,0\right)$或$\left(0,-5.5\right)$，

综上，$Q(0$，$-8+2\sqrt{5}$）或$(0$，$-8-2\sqrt{5})$或$\left(0,0\right)$或$\left(0,-5.5\right)$.

（1）将点$C$的坐标代入$y=-2x$得：$-4=-2a$，则$a=2$，

即点$C\left(2,-4\right)$，

将点$C$的坐标代入$AB$的表达式得：$-4=2k-8$，则$k=2$，

则直线$AB$的表达式为：$y=2x-8$；

$(2)$设点$P\left(0,y\right)$，

则$\triangle PBC$的面积$=\frac{1}{2}\color{red}{×}PB\times x_{C}=\frac{1}{2}\color{red}{×}|y+8|=6$，

解得：$y=-2$或$-14$，

即点$P\left(0,-2\right)$或$\left(0,-14\right)$；

$(3)$设点$Q\left(0,y\right)$，

由点$B$、$C$、$Q$的坐标得，$BC^{2}=20$，$BQ^{2}=\left(y+8\right)^{2}$，$QC^{2}=4+\left(y+4\right)^{2}$，

当$BC=BQ$时，则$20=\left(y+8\right)^{2}$，

解得：$y=-8\pm 2\sqrt{5}$，即点$Q(0$，$-8+2\sqrt{5}$）或$(0$，$-8-2\sqrt{5})$，

当$BC=CQ$或$BQ=CQ$时，

同理可得：$\left(y+8\right)^{2}=4+\left(y+4\right)^{2}$或$20=4+\left(y+4\right)^{2}$，

解得：$y=-8(舍去)$或$0$或$-5.5$，

即点$Q\left(0,0\right)$或$\left(0,-5.5\right)$，

综上，$Q(0$，$-8+2\sqrt{5}$）或$(0$，$-8-2\sqrt{5})$或$\left(0,0\right)$或$\left(0,-5.5\right)$.