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九年级数学解答题一般
题目
如图22是根据图11中的石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,设AB^\widehat {AB}所在圆的圆心为OO,拱顶为点CC,OC⊥ABOC\bot AB交ABAB于点DD,连接OBOB.当桥下水面宽AB=8mAB=8m时,CD=2mCD=2m.
(1)(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；
(2)(2)有一条宽为7m7m,高出水面1m1m的矩形渔船,请你判断一下,此渔船能否顺利通过这座拱桥?并说明理由.
知识点：垂径定理的应用章节：第28章 圆 / 28.4 垂径定理

答案与解析

答案

(1)(1)∵OC⊥AB\because OC\bot AB，AB=8mAB=8m
∴AD=BD=4m\therefore AD=BD=4m，∠ODB=90∘\angle ODB=90^{\circ}，
设主桥拱半径为RR，则OB=OC=ROB=OC=R，
∴OD=OC−CD=R−2\therefore OD=OC-CD=R-2，
在Rt△OBDRt\triangle OBD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}，
∴(R−2)2+42=R2\therefore \left(R-2\right)^{2}+4^{2}=R^{2}，
解得：R=5R=5，
∴\therefore这座石拱桥主桥拱的半径为5m5m.
(2)(2)此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，
设CDCD的中点为EE，过点EE作CDCD的垂线交AB^\widehat {AB}于MNMN，连接CNCN，
∵CD=2m\because CD=2m，
∴CE=DE=1m\therefore CE=DE=1m，
由（1）可知：OC=5mOC=5m，
∴OE=OC−CE=4(m)\therefore OE=OC-CE=4\left(m\right)，

在Rt△OENRt\triangle OEN中，由勾股定理得：EN=ON2−OE2=52−42=3EN=\sqrt{O{N}^{2}-O{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3，
∴MN=2EN=6<7\therefore MN=2EN=6 \lt 7，
∴\therefore此渔船不能顺利通过这座桥.

解析

(1)(1)∵OC⊥AB\because OC\bot AB，AB=8mAB=8m
∴AD=BD=4m\therefore AD=BD=4m，∠ODB=90∘\angle ODB=90^{\circ}，
设主桥拱半径为RR，则OB=OC=ROB=OC=R，
∴OD=OC−CD=R−2\therefore OD=OC-CD=R-2，
在Rt△OBDRt\triangle OBD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}，
∴(R−2)2+42=R2\therefore \left(R-2\right)^{2}+4^{2}=R^{2}，
解得：R=5R=5，
∴\therefore这座石拱桥主桥拱的半径为5m5m.
(2)(2)此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下，
设CDCD的中点为EE，过点EE作CDCD的垂线交AB^\widehat {AB}于MNMN，连接CNCN，
∵CD=2m\because CD=2m，
∴CE=DE=1m\therefore CE=DE=1m，
由（1）可知：OC=5mOC=5m，
∴OE=OC−CE=4(m)\therefore OE=OC-CE=4\left(m\right)，

在Rt△OENRt\triangle OEN中，由勾股定理得：EN=ON2−OE2=52−42=3EN=\sqrt{O{N}^{2}-O{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3，
∴MN=2EN=6<7\therefore MN=2EN=6 \lt 7，
∴\therefore此渔船不能顺利通过这座桥.

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