（1）连接$AC$，由题意可知，$AB=CD=6cm$，$BC=4cm$，$AB\bot BC$，
则$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore AC$为直径，

由勾股定理可知：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}cm$，
$\therefore$半径$r=\sqrt{13}cm$，
故答案为：$\sqrt{13}$；
$\ \ \ \ \left(2\right)$连接圆心$O$与切点$P$，交$CD$于$Q$，连接$OD$，则$OP\bot AB$，

由题意可知，$BP=1cm$，
$\because AB\bot BC$，$CD\bot BC$，
$\therefore$四边形$BCQP$为矩形，
$\therefore PQ=BC=4cm$，$CQ=PB=lcm$，
则$OQ=OP-PQ=\left(r-4\right)cm$，$DQ=CD-CQ=6-1=5cm$，
在$Rt\triangle DOQ$中，$OD^{2}=OQ^{2}+DQ^{2}$，即$r^{2}=\left(r-4\right)^{2}+5^{2}$，
解得：$r=\frac{41}{8}cm$，
故答案为：$\frac{41}{8}$；
$(3)$如图，过点$O$作$OM\bot AB$于$M$，延长$MO$交$CD$于$N$，连接$OQ$，$OR$，

$\therefore \angle OMQ=90^{\circ}$，$MQ=\frac{1}{2}PQ$，
$\because AB\bot BC$，$CD\bot BC$，$OM\bot AB$，
$\therefore$四边形$BCNM$为矩形，则$\angle ONR=90^{\circ}$，$BM=CN$，$MN=BC=4cm$，
由题意可知，$PB=5cm$，$BQ=1cm$，$CR=2cm$，
$\therefore PQ=PB-BQ=4cm$，则$MQ=\frac{1}{2}PQ=2cm$，
$\therefore BM=CN=MQ+BQ=3cm$，则$NR=CN-CR=1cm$，
设$OM=x cm$，则$ON=\left(4-x\right)cm$，
在$Rt\triangle MOQ$中，$OQ^{2}=r^{2}=OM^{2}+MQ^{2}=x^{2}+2^{2}$，
在$Rt\triangle NOR$中，$OR^{2}=r^{2}=ON^{2}+NR^{2}=\left(4-x\right)^{2}+1^{2}$，
则$x^{2}+2^{2}=\left(4-x\right)^{2}+1$，解得：$x=\frac{13}{8}$，
$\therefore r=OQ=\sqrt{(\frac{13}{8})^{2}+2^{2}}=\frac{5\sqrt{17}}{8}cm$；
$(4)$如图，当圆的直径小于$BC$的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径$r$，

如图，当圆与$AB$和$CD$其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径$r$，

$\therefore$若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径$r$，
要能够测出圆的半径，则圆与$AB$、$CD$都要有交点，
如图，当$\odot O$与$AB$、$CD$均相切时，直径等于$BC$的长度$4cm$，
即：$\odot O$的半径$r$的最小值为$2cm$，

假设圆心$O$在$CD$右侧，要的能测出圆的半径，$\odot O$至少要与$AB$相切，与$CD$有交点，
令$\odot O$与$AB$相切于点$P$，与$CD$交于边界点$D$，如图，

由题意可知，$QD\leqslant 6$，类比（2）可知，$PQ=4cm$，则$OQ=\left(r-4\right)cm$，
由勾股定理可得：$QD^{2}=OD^{2}-OQ^{2}$，
$\because r^{2}-\left(r-4\right)^{2}\leqslant 36$，整理得$8r\leqslant 52$，
$\therefore r≤\frac{13}{2}$，则$\odot O$的半径$r$的最大值为$\frac{13}{2}cm$，
综上，半径的最小值为$2cm$，最大值为$\frac{13}{2}cm$.

（1）连接$AC$，由题意可知，$AB=CD=6cm$，$BC=4cm$，$AB\bot BC$，
则$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore AC$为直径，

由勾股定理可知：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}cm$，
$\therefore$半径$r=\sqrt{13}cm$，
故答案为：$\sqrt{13}$；
$\ \ \ \ \left(2\right)$连接圆心$O$与切点$P$，交$CD$于$Q$，连接$OD$，则$OP\bot AB$，

由题意可知，$BP=1cm$，
$\because AB\bot BC$，$CD\bot BC$，
$\therefore$四边形$BCQP$为矩形，
$\therefore PQ=BC=4cm$，$CQ=PB=lcm$，
则$OQ=OP-PQ=\left(r-4\right)cm$，$DQ=CD-CQ=6-1=5cm$，
在$Rt\triangle DOQ$中，$OD^{2}=OQ^{2}+DQ^{2}$，即$r^{2}=\left(r-4\right)^{2}+5^{2}$，
解得：$r=\frac{41}{8}cm$，
故答案为：$\frac{41}{8}$；
$(3)$如图，过点$O$作$OM\bot AB$于$M$，延长$MO$交$CD$于$N$，连接$OQ$，$OR$，

$\therefore \angle OMQ=90^{\circ}$，$MQ=\frac{1}{2}PQ$，
$\because AB\bot BC$，$CD\bot BC$，$OM\bot AB$，
$\therefore$四边形$BCNM$为矩形，则$\angle ONR=90^{\circ}$，$BM=CN$，$MN=BC=4cm$，
由题意可知，$PB=5cm$，$BQ=1cm$，$CR=2cm$，
$\therefore PQ=PB-BQ=4cm$，则$MQ=\frac{1}{2}PQ=2cm$，
$\therefore BM=CN=MQ+BQ=3cm$，则$NR=CN-CR=1cm$，
设$OM=x cm$，则$ON=\left(4-x\right)cm$，
在$Rt\triangle MOQ$中，$OQ^{2}=r^{2}=OM^{2}+MQ^{2}=x^{2}+2^{2}$，
在$Rt\triangle NOR$中，$OR^{2}=r^{2}=ON^{2}+NR^{2}=\left(4-x\right)^{2}+1^{2}$，
则$x^{2}+2^{2}=\left(4-x\right)^{2}+1$，解得：$x=\frac{13}{8}$，
$\therefore r=OQ=\sqrt{(\frac{13}{8})^{2}+2^{2}}=\frac{5\sqrt{17}}{8}cm$；
$(4)$如图，当圆的直径小于$BC$的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径$r$，

如图，当圆与$AB$和$CD$其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径$r$，

$\therefore$若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径$r$，
要能够测出圆的半径，则圆与$AB$、$CD$都要有交点，
如图，当$\odot O$与$AB$、$CD$均相切时，直径等于$BC$的长度$4cm$，
即：$\odot O$的半径$r$的最小值为$2cm$，

假设圆心$O$在$CD$右侧，要的能测出圆的半径，$\odot O$至少要与$AB$相切，与$CD$有交点，
令$\odot O$与$AB$相切于点$P$，与$CD$交于边界点$D$，如图，

由题意可知，$QD\leqslant 6$，类比（2）可知，$PQ=4cm$，则$OQ=\left(r-4\right)cm$，
由勾股定理可得：$QD^{2}=OD^{2}-OQ^{2}$，
$\because r^{2}-\left(r-4\right)^{2}\leqslant 36$，整理得$8r\leqslant 52$，
$\therefore r≤\frac{13}{2}$，则$\odot O$的半径$r$的最大值为$\frac{13}{2}cm$，
综上，半径的最小值为$2cm$，最大值为$\frac{13}{2}cm$.