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九年级数学解答题一般
题目
某地欲搭建一桥,桥的底部两端间的距离AB=LAB=L称跨度,桥面最高点到ABAB的距离CD=hCD=h称拱高,当LL和hh确定时,有两种设计方案可供选择:①抛物线型；②圆弧型.已知这座桥的跨度L=20L=20米,拱高h=5h=5米.
(1)(1)如图11,若设计成抛物线型,以ABAB所在直线为xx轴,ABAB的垂直平分线为yy轴建立坐标系,求此函数表达式；
(2)(2)如图22,若设计成圆弧型,求该圆弧所在圆的半径；
(3)(3)现有一艘宽为1515米的货船,船舱顶部为方形,并高出水面2.22.2米.从以上两种方案中,任选一种方案,判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥?并说明理由.
知识点：二次函数的应用、垂径定理的应用章节：第28章 圆 / 28.4 垂径定理

答案与解析

答案

(1)∵AB=20\left(1\right)\because AB=20，
∴A(−10,0)\therefore A\left(-10,0\right)，B(10,0)B\left(10,0\right)，
∵h=5\because h=5，
∴C(0,5)\therefore C\left(0,5\right)，
设抛物线的解析式为y=a(x+10)(x−10)y=a\left(x+10\right)\left(x-10\right)，
∴−100a=5\therefore -100a=5，
解得a=−120a=-\frac{1}{20}，
∴\therefore抛物线的解析式为y=−120x2+5y=-\frac{1}{20}x^{2}+5；
(2)(2)设圆心为OO，连接OCOC交ABAB于EE点，连接AOAO，

∵AB=20\because AB=20，
∴AE=10\therefore AE=10，
∵h=5\because h=5，
∴CE=5\therefore CE=5，
在Rt△AEORt\triangle AEO中，AO2=AE2+OE2AO^{2}=AE^{2}+OE^{2}，
∴AO2=100+(OA−5)2\therefore AO^{2}=100+\left(OA-5\right)^{2}，
解得AO=12.5AO=12.5，
∴\therefore该圆弧所在圆的半径12.512.5米；
(3)(3)抛物线型方案货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案货船能顺利通过该桥；理由如下：
①在抛物线型上时，当x=7.5x=7.5时，y≈2.19y\approx 2.19，
∵2.19\because 2.19米<2.2\lt 2.2米，
∴\therefore货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时，设EG=7.5EG=7.5米，
过点GG作FH⊥ABFH\bot AB交弧BCBC于点FF，过点OO作OH⊥FHOH\bot FH交于HH点，连接OFOF，
∴OH=EG=7.5\therefore OH=EG=7.5米，
在Rt△OHFRt\triangle OHF中，OF2=OH2+FH2OF^{2}=OH^{2}+FH^{2}，
∴12.52=7.52+FH2\therefore 12.5^{2}=7.5^{2}+FH^{2}，
∴FH=10\therefore FH=10米，
∵GH=OE=12.5−5=7.5(米)\because GH=OE=12.5-5=7.5(米)，
∴FG=2.5\therefore FG=2.5米，
∵2.5\because 2.5米>2.2\gt 2.2米，
∴\therefore货船能顺利通过该桥.

解析

(1)∵AB=20\left(1\right)\because AB=20，
∴A(−10,0)\therefore A\left(-10,0\right)，B(10,0)B\left(10,0\right)，
∵h=5\because h=5，
∴C(0,5)\therefore C\left(0,5\right)，
设抛物线的解析式为y=a(x+10)(x−10)y=a\left(x+10\right)\left(x-10\right)，
∴−100a=5\therefore -100a=5，
解得a=−120a=-\frac{1}{20}，
∴\therefore抛物线的解析式为y=−120x2+5y=-\frac{1}{20}x^{2}+5；
(2)(2)设圆心为OO，连接OCOC交ABAB于EE点，连接AOAO，

∵AB=20\because AB=20，
∴AE=10\therefore AE=10，
∵h=5\because h=5，
∴CE=5\therefore CE=5，
在Rt△AEORt\triangle AEO中，AO2=AE2+OE2AO^{2}=AE^{2}+OE^{2}，
∴AO2=100+(OA−5)2\therefore AO^{2}=100+\left(OA-5\right)^{2}，
解得AO=12.5AO=12.5，
∴\therefore该圆弧所在圆的半径12.512.5米；
(3)(3)抛物线型方案货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案货船能顺利通过该桥；理由如下：
①在抛物线型上时，当x=7.5x=7.5时，y≈2.19y\approx 2.19，
∵2.19\because 2.19米<2.2\lt 2.2米，
∴\therefore货船不能顺利通过该桥；
②在圆弧型时，设EG=7.5EG=7.5米，
过点GG作FH⊥ABFH\bot AB交弧BCBC于点FF，过点OO作OH⊥FHOH\bot FH交于HH点，连接OFOF，
∴OH=EG=7.5\therefore OH=EG=7.5米，
在Rt△OHFRt\triangle OHF中，OF2=OH2+FH2OF^{2}=OH^{2}+FH^{2}，
∴12.52=7.52+FH2\therefore 12.5^{2}=7.5^{2}+FH^{2}，
∴FH=10\therefore FH=10米，
∵GH=OE=12.5−5=7.5(米)\because GH=OE=12.5-5=7.5(米)，
∴FG=2.5\therefore FG=2.5米，
∵2.5\because 2.5米>2.2\gt 2.2米，
∴\therefore货船能顺利通过该桥.

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