在"勾股定理"一章的学习中,我们体会到了勾股定理应用的广泛性,以及"数形结合"是解决数学问题的一种重要的思想方法.
$(1)$【已有认识】$\sqrt{2}$既可以从算术平方根的角度理解,结合勾股定理的知识,也能将其看成是直角边都为$1$的直角三角形的斜边长,即$\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}$,由此得到在数轴上寻找$\sqrt{2}$所表示的点的方法,如图$1$.

【拓展运用】如图$2$,点$O$、点$A$在数轴上,且$OA=2$,$AB=1$,$AB\bot OA$于$A$,以点$O$为圆心,$OB$长为半径画弧,交数轴于点$P$,则数轴中点$P$表示的数是______$.(直接写出答案)$
$(2)$【已有认识】结合正方形网格,我们还可以表示某些长度为无理数的线段.
【拓展运用】请在图$3$正方形网格（每个小正方形的边长为$1)$内画出顶点在格点的$\triangle ABC$,其中$AC=\sqrt{2}$,$BC=2\sqrt{2}$,$AB=\sqrt{10}$,并求出$\triangle ABC$的面积,以及点$C$到$AB$边的距离.

$(3)$【已有认识】如图$4$,结合直角坐标系,我们发现:要求出坐标系中$A$、$B$两点的距离,显然是转化为求$Rt\triangle ABC$的斜边长.下面以求$DE$为例来说明如何解决:
从坐标系中发现:$D\left(-1,-4\right)$,$E\left(6,-2\right)$,
所以$DF=|6-\left(-1\right)|=7$,$EF=|-2-\left(-4\right)|=2$,
所以由勾股定理可得,$DE=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$.
【拓展运用】①在图$5$中,设$A(x_{1}$,$y_{1})$,$B(x_{2}$,$y_{2}),AC$∥$y$轴$,BC$∥$x$轴,$AC\bot BC$于点$C$,则$AC=$______,$BC=$______,由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式,$AB=\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({y}_{1}-{y}_{2})^{2}}($直接写出答案）
②图$4$中,平面直角坐标系中有两点$M\left(-3,4\right)$,$N\left(-6,1\right)$,$P$为$x$轴上任一点,则$PM+PN$的最小值为______$;(直接写出答案)$
③应用平面内两点间的距离公式,求代数式$\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y+1)^2}$的最小值为:______.(直接写出答案）