综合与实践
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数?
【活动操作】小明参照教材用$4$张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形$ABEFG$.
【探索新知】
$(1)$从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形$ABEFG$的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程.
$(2)$如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的$a$、$b$、$c$是三个正整数,我们称$a$、$b$、$c$为勾股数.已知$m$、$n$是正整数且$m \gt n$,证明:$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数.
【灵活运用】
$(3)$在如图所示的五边形$ABEFG$中,若$a=4$,$b=8$,则空白部分的面积为______.
$(4)$请写出任意一组含有$85$的"勾股数":______.
$(5)$小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4(n$为任意正整数）表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是______、______.