"赵爽弦图"是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,在验明勾股定理,为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.
$(1)$如图$1$,是小琪制作的一个"赵爽弦图"纸板.
①设$AH=a$,$BH=b$,$AB=c$,请你利用图$1$验证:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
②若大正方形$ABCD$的边长为$13$,小正方形$EFGH$的边长为$7$,求直角三角形两直角边之和为多少?
$(2)$如图$2$,小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起,已知外围轮廓（实线）的周长为$48$,$OB=6$,求这个图案的面积.