八年级数学解答题勾股定理的证明｜试题答案与解析

八年级数学解答题一般

题目

"赵爽弦图"是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,在验明勾股定理,为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.

(1)

如图

1

,是小琪制作的一个"赵爽弦图"纸板.
①设

AH=a

BH=b

AB=c

,请你利用图

1

验证:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

；
②若大正方形

ABCD

的边长为

13

,小正方形

EFGH

的边长为

7

,求直角三角形两直角边之和为多少?

(2)

如图

2

,小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起,已知外围轮廓（实线）的周长为

48

OB=6

,求这个图案的面积.

知识点：勾股定理的证明章节：第1章勾股定理 / 1.1 探索勾股定理

答案与解析

答案

(1)

①证明：

\because

中间小正方形的边长为

b-a

，

\therefore

小正方形的面积为

\left(b-a\right)^{2}

.
又

\because

四个直角三角形的面积为：

4×\frac{1}{2}ab=2ab

，

\therefore

大正方形的面积为：

\left(b-a\right)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}

.
又

\because

大正方形的边长为

c

，

\therefore

大正方形的面积还可以表示为

c^{2}

，

\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}

.
②由①可知，

a^{2}+b^{2}=c^{2}=169

，

\because b-a=7

，

\therefore \left(b-a\right)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=49

，

\therefore 2ab=120

，

\therefore \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=169+120=289

，

\therefore a+b=17(舍负)

，
即直角三角形两直角边之和为

17

(2)

设

AO=CO=GO=EO=m

，

\because OB=OH=OD=OF=6

，

\therefore AH=CB=DE=FG=m-6

\because

外围轮廓（实线）的周长为

48

，

\therefore 4\left(AB+m-6\right)=48

，
则

AB=18-m

.
在

Rt\triangle ABO

中，

6^{2}+m^{2}=\left(18-m\right)^{2}

，
解得

m=8

，
即

AO=8

，

\therefore S=4×\frac{1}{2}×6×8=96

解析

(1)