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八年级数学解答题一般
题目
我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图",它是由44个全等的直角三角形与11个小正方形拼成的一个大正方形,已知大正方形的面积为2525,小正方形的面积为33.
(1)(1)如图11,若用aa,bb表示直角三角形的两条直角边(a<b)\left(a \lt b\right),a+b=______.a+b=\_\_\_\_\_\_.
(2)(2)如图22,若拼成的大正方形为正方形ABCDABCD,中间的小正方形为正方形EFGHEFGH,连接ACAC,交BGBG于点PP,交DEDE于点MM,S△AFP−S△CGP=______.S_{\triangle AFP}-S_{\triangle CGP}=\_\_\_\_\_\_.
知识点：全等图形、勾股定理的证明、解直角三角形、数学常识章节：第1章 勾股定理 / 1.1 探索勾股定理

答案与解析

答案

(1)∵\left(1\right)\because大正方形的面积为2525，小正方形的面积为33，
∴a2+b2=25\therefore a^{2}+b^{2}=25，(b−a)2=3\left(b-a\right)^{2}=3，
∴4\therefore 4个直角三角形的面积=4×12ab=2ab=25−3=22=4\times \frac{1}{2}ab=2ab=25-3=22，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25+22=47\therefore \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=25+22=47，
解得a+b=47(a+b=\sqrt{47}(负值已舍去）；
故答案为：47\sqrt{47}；
(2)∵(2)\because四边形EFGHEFGH为正方形，
∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90∘\therefore \angle AEM=\angle HEF=\angle FGH=\angle CGP=90^{\circ}，EMEM∥PF,AFPF,AF∥CHCH，
∴∠EAM=∠GCP\therefore \angle EAM=\angle GCP，
∵\because“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGHEFGH拼成的一个大正方形ABCDABCD，
∴Rt△AED\therefore Rt\triangle AED≌Rt△CGBRt\triangle CGB，
∴AE=CG\therefore AE=CG，
在△AEM\triangle AEM和△CGP\triangle CGP中，
{∠AEM=∠CGPAE=CG∠EAM=∠GCP\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠CGP}\\{AE=CG}\\{∠EAM=∠GCP}\end{array}\right.，
∴△AEM\therefore \triangle AEM≌△CGP(ASA)\triangle CGP\left(ASA\right)，
∴S△AEM=S△CGP\therefore S_{\triangle AEM}=S_{\triangle CGP}，EM=PGEM=PG，
∴S△AFP−S△CGP=S△AFP−S△AEM=S梯形FPME=12(EM+PF)⋅EF=12(PG+PF)⋅EF=12FG⋅EF=12S正方形EFGH\therefore S_{\triangle AFP}-S_{\triangle CGP}=S_{\triangle AFP}-S_{\triangle AEM}=S_{梯形FPME}=\frac{1}{2}\left(EM+PF\right)\cdot EF=\frac{1}{2}\left(PG+PF\right)\cdot EF=\frac{1}{2}FG\cdot EF=\frac{1}{2}S_{正方形EFGH}，
∵S正方形EFGH=3\because S_{正方形EFGH}=3，
∴S△AFP−S△CGP\therefore S_{\triangle AFP}-S_{\triangle CGP}的值是32\frac{3}{2}，
故答案为：32\frac{3}{2}.

解析

(1)∵\left(1\right)\because大正方形的面积为2525，小正方形的面积为33，
∴a2+b2=25\therefore a^{2}+b^{2}=25，(b−a)2=3\left(b-a\right)^{2}=3，
∴4\therefore 4个直角三角形的面积=4×12ab=2ab=25−3=22=4\times \frac{1}{2}ab=2ab=25-3=22，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25+22=47\therefore \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=25+22=47，
解得a+b=47(a+b=\sqrt{47}(负值已舍去）；
故答案为：47\sqrt{47}；
(2)∵(2)\because四边形EFGHEFGH为正方形，
∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90∘\therefore \angle AEM=\angle HEF=\angle FGH=\angle CGP=90^{\circ}，EMEM∥PF,AFPF,AF∥CHCH，
∴∠EAM=∠GCP\therefore \angle EAM=\angle GCP，
∵\because“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGHEFGH拼成的一个大正方形ABCDABCD，
∴Rt△AED\therefore Rt\triangle AED≌Rt△CGBRt\triangle CGB，
∴AE=CG\therefore AE=CG，
在△AEM\triangle AEM和△CGP\triangle CGP中，
{∠AEM=∠CGPAE=CG∠EAM=∠GCP\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠CGP}\\{AE=CG}\\{∠EAM=∠GCP}\end{array}\right.，
∴△AEM\therefore \triangle AEM≌△CGP(ASA)\triangle CGP\left(ASA\right)，
∴S△AEM=S△CGP\therefore S_{\triangle AEM}=S_{\triangle CGP}，EM=PGEM=PG，
∴S△AFP−S△CGP=S△AFP−S△AEM=S梯形FPME=12(EM+PF)⋅EF=12(PG+PF)⋅EF=12FG⋅EF=12S正方形EFGH\therefore S_{\triangle AFP}-S_{\triangle CGP}=S_{\triangle AFP}-S_{\triangle AEM}=S_{梯形FPME}=\frac{1}{2}\left(EM+PF\right)\cdot EF=\frac{1}{2}\left(PG+PF\right)\cdot EF=\frac{1}{2}FG\cdot EF=\frac{1}{2}S_{正方形EFGH}，
∵S正方形EFGH=3\because S_{正方形EFGH}=3，
∴S△AFP−S△CGP\therefore S_{\triangle AFP}-S_{\triangle CGP}的值是32\frac{3}{2}，
故答案为：32\frac{3}{2}.

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