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九年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,DCDC平分∠ACB\angle ACB,BD⊥CDBD\bot CD于点DD,∠ABD=∠A\angle ABD=\angle A,若BD=1BD=1,AC=7AC=7,则tan⁡∠CBD\tan \angle CBD的值为____.
知识点：展开图折叠成几何体、全等三角形的性质、直角三角形全等的判定章节：第32章 投影与视图 / 32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图

答案与解析

答案

延长BDBD交ACAC于点EE.
∵DC\because DC平分∠ACB\angle ACB，BD⊥CDBD\bot CD于点DD，
∴∠CDE=∠CDB=90∘\therefore \angle CDE=\angle CDB=90^{\circ}，∠DCE=∠DCB\angle DCE=\angle DCB.
在△DCE\triangle DCE和△DCB\triangle DCB中，
{∠CDE=∠CDBCD=CD∠DCE=∠DCB\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠CDB}\\{CD=CD}\\{∠DCE=∠DCB}\end{array}\right.，
∴△DCE\therefore \triangle DCE≌△DCB(SAS).\triangle DCB\left(SAS\right).
∴BD=ED=1\therefore BD=ED=1.
∵∠ABD=∠A\because \angle ABD=\angle A，
∴AE=BE=2\therefore AE=BE=2.
∵AC=7\because AC=7，
∴CE=AC−AE=5\therefore CE=AC-AE=5.
∴CD=CE2−ED2\therefore CD=\sqrt{C{E}^{2}-E{D}^{2}}
=52−12=\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}
=26=2\sqrt{6}.
∴tan⁡∠CBD=CDBD=261=26\therefore \tan \angle CBD=\frac{CD}{BD}=\frac{2\sqrt{6}}{1}=2\sqrt{6}.
故答案为：262\sqrt{6}.

解析

延长BDBD交ACAC于点EE.
∵DC\because DC平分∠ACB\angle ACB，BD⊥CDBD\bot CD于点DD，
∴∠CDE=∠CDB=90∘\therefore \angle CDE=\angle CDB=90^{\circ}，∠DCE=∠DCB\angle DCE=\angle DCB.
在△DCE\triangle DCE和△DCB\triangle DCB中，
{∠CDE=∠CDBCD=CD∠DCE=∠DCB\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠CDB}\\{CD=CD}\\{∠DCE=∠DCB}\end{array}\right.，
∴△DCE\therefore \triangle DCE≌△DCB(SAS).\triangle DCB\left(SAS\right).
∴BD=ED=1\therefore BD=ED=1.
∵∠ABD=∠A\because \angle ABD=\angle A，
∴AE=BE=2\therefore AE=BE=2.
∵AC=7\because AC=7，
∴CE=AC−AE=5\therefore CE=AC-AE=5.
∴CD=CE2−ED2\therefore CD=\sqrt{C{E}^{2}-E{D}^{2}}
=52−12=\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}
=26=2\sqrt{6}.
∴tan⁡∠CBD=CDBD=261=26\therefore \tan \angle CBD=\frac{CD}{BD}=\frac{2\sqrt{6}}{1}=2\sqrt{6}.
故答案为：262\sqrt{6}.

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