七年级数学填空题规律型：点的坐标｜试题答案与解析

题目

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,初中数学里的代数公式,很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释.
【方法初探】

(1)

例如:求

1+2+3+4+\ldots +n

的值（其中

n

是正整数).
方案如下:如图

1

,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为

1

2

3

\ldots

n

个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子

1+2+3+4+\ldots +n

的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有______行,每行有______个小圆圈,所以组成一个三角形小圆圈的个数为

1+2+3+4+\ldots +n=

______；
【探索归纳】

(2)

下面我们将利用数形结合尝试求

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}

的值（其中

n

是正整数).请你仔细观察图

2

,找出图形与算式之间的关系,解决下列问题:

①探索规律:根据前面的规律,第（5）个图形可以表示的等式为______；
②归纳结论:则

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots +n^{3}= \_\_\_\_\_\_;(

结果用含

n

的代数式表示）
【拓展应用】

(3)

求

\frac{1^3+2^3+3^3+…+100^3}{1+2+3+…+100}

的值.

知识点：规律型：点的坐标章节：第14章平面直角坐标系 / 14.1 平面直角坐标系

答案

（1）组成平行四边形的小圆圈共有 $n$ 行，每行有 $n+1$ 个小圆圈， $1+2+3+4+\ldots +n=\frac{(1+n)n}{2}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$ ；

$(2)\because 1^{3}=1^{2}$ ， $1^{3}+2^{3}=\left(1+2\right)^{2}=3^{2}$ ， $1^{3}+2^{3}+3^{3}=\left(1+2+3\right)^{2}=6^{2}$ ， $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=\left(1+2+3+4\right)^{2}=10^{2}$ ，

$\therefore 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=\left(1+2+3+4+5\right)^{2}=15^{2}$ ；

故答案为： $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$ ；

$(2)$ ${\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]}^{2}$ ；