$(1)$如图$1$，$\because AC\bot BD$于点$E$，
$\therefore \angle AEB=90^{\circ}$，
$\because AB=10$，$BE=8$，
$\therefore AE=\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}=6$，
$\because$当$P$为$AB$中点时，$Q$恰好与点$E$重合，且$CQ=\frac{6}{5}AP$，
$\therefore CE=CQ=\frac{6}{5}AP=\frac{6}{5}\times \frac{1}{2}\times 10=6$，
$\therefore AC=AE+CE=6+6=12$，
$\therefore AC$的长是$12$.
$(2)$证明：由已知得，当$P$为$AB$中点时，$Q$恰好与点$E$重合，
如图$1$，延长$PE$交$CD$于点$F$，
$\because \angle AEB=90^{\circ}$，$P$为$AB$中点，
$\therefore PE=PB=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore \angle PEB=\angle B$，
$\because \angle C=\angle B$，
$\therefore \angle C=\angle PEB$，
$\because \angle CEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle C+\angle CEF=\angle PEB+\angle CEF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CFE=90^{\circ}$，
$\therefore PE\bot CD$，
$\therefore PQ\bot CD$.
$(3)$当$\triangle ABQ$是等腰三角形，且$AQ=AB$时，如图$2$，
$\because AC=12$，$AQ=AB=10$，
$\therefore CQ=AC-AQ=12-10=2$，
$\therefore CQ=\frac{6}{5}AP$，
$\therefore \frac{6}{5}AP=2$，
$\therefore AP=\frac{5}{3}$；
当$\triangle ABQ$是等腰三角形，且$AQ=BQ$时，如图$3$，
$\because BE^{2}+EQ^{2}=BQ^{2}$，且$BE=8$，$EQ=6-CQ$，$BQ=AQ=12-CQ$，
$\therefore 8^{2}+\left(6-CQ\right)^{2}=\left(12-CQ\right)^{2}$，
$\therefore CQ=\frac{11}{3}$，
$\therefore \frac{6}{5}AP=\frac{11}{3}$，
$\therefore AP=\frac{55}{18}$；
$\because BD$垂直平分$AC$，
$\therefore$若点$Q$与点$C$重合，则$AB=QB$，
$\because$点$P$不与$B$重合，且$CQ=\frac{6}{5}AP$，
$\therefore$点$Q$不与点$C$重合，
$\therefore$不存在$AB=QB$的情况，
综上所述，$AP$的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{55}{18}$.

$(1)$如图$1$，$\because AC\bot BD$于点$E$，
$\therefore \angle AEB=90^{\circ}$，
$\because AB=10$，$BE=8$，
$\therefore AE=\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}=6$，
$\because$当$P$为$AB$中点时，$Q$恰好与点$E$重合，且$CQ=\frac{6}{5}AP$，
$\therefore CE=CQ=\frac{6}{5}AP=\frac{6}{5}\times \frac{1}{2}\times 10=6$，
$\therefore AC=AE+CE=6+6=12$，
$\therefore AC$的长是$12$.
$(2)$证明：由已知得，当$P$为$AB$中点时，$Q$恰好与点$E$重合，
如图$1$，延长$PE$交$CD$于点$F$，
$\because \angle AEB=90^{\circ}$，$P$为$AB$中点，
$\therefore PE=PB=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore \angle PEB=\angle B$，
$\because \angle C=\angle B$，
$\therefore \angle C=\angle PEB$，
$\because \angle CEB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle C+\angle CEF=\angle PEB+\angle CEF=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CFE=90^{\circ}$，
$\therefore PE\bot CD$，
$\therefore PQ\bot CD$.
$(3)$当$\triangle ABQ$是等腰三角形，且$AQ=AB$时，如图$2$，
$\because AC=12$，$AQ=AB=10$，
$\therefore CQ=AC-AQ=12-10=2$，
$\therefore CQ=\frac{6}{5}AP$，
$\therefore \frac{6}{5}AP=2$，
$\therefore AP=\frac{5}{3}$；
当$\triangle ABQ$是等腰三角形，且$AQ=BQ$时，如图$3$，
$\because BE^{2}+EQ^{2}=BQ^{2}$，且$BE=8$，$EQ=6-CQ$，$BQ=AQ=12-CQ$，
$\therefore 8^{2}+\left(6-CQ\right)^{2}=\left(12-CQ\right)^{2}$，
$\therefore CQ=\frac{11}{3}$，
$\therefore \frac{6}{5}AP=\frac{11}{3}$，
$\therefore AP=\frac{55}{18}$；
$\because BD$垂直平分$AC$，
$\therefore$若点$Q$与点$C$重合，则$AB=QB$，
$\because$点$P$不与$B$重合，且$CQ=\frac{6}{5}AP$，
$\therefore$点$Q$不与点$C$重合，
$\therefore$不存在$AB=QB$的情况，
综上所述，$AP$的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{55}{18}$.