如图,$AC\bot BD$于点$E$,连结$AB$,$CD$,$AB=10$,$BE=8$,点$P$在线段$AB$上运动时（不与$A$,$B$重合）,点$Q$在线段$AC$上,满足$CQ=\frac{6}{5}AP$,连结$PQ$.当$P$为$AB$中点时,$Q$恰好与点$E$重合.
$(1)$求$AC$的长.
$(2)$若$\angle C=\angle B$,$P$运动到$AB$中点时,求证:直线$PQ\bot CD$.
$(3)$连结$BQ$,当$\triangle ABQ$是等腰三角形时,请写出所有符合条件的$AP$的长.