在平面直角坐标系中,已知点$A\left(1,2\right)$,$B\left(2,3\right)$,$C\left(2,1\right)$,直线$y=x+m$经过点$A$,抛物线$y=ax^{2}+bx+1$恰好经过$A$,$B$,$C$三点中的两点.
$(1)$求直线$y=x+m$的解析式；
$(2)$求$a$,$b$的值；
$(3)$平移抛物线$y=ax^{2}+bx+1$,使其顶点仍在直线$y=x+m$上,求平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值.