$\left(1\right)\because$直线$y=x+m$经过点$A\left(1,2\right)$，
$\therefore 2=1+m$，解得$m=1$，
$\therefore$直线为$y=x+1$；
$(2)\because$直线$y=x+1$与抛物线$y=ax^{2}+bx+1$都经过点$\left(0,1\right)$，$A\left(1,2\right)$，$B\left(2,3\right)$都在直线上，所以直线与抛物线不可能有三个交点.
且$B$、$C$两点的横坐标相同，
$\therefore$抛物线只能经过$A$、$C$两点，
把$A\left(1,2\right)$，$C\left(2,1\right)$代入$y=ax^{2}+bx+1$得$\left\{{\begin{array}{l}{a+b+1=2}\\{4a+2b+1=1}\end{array}}\right.$，
解得$a=-1$，$b=2$；
$(3)$由（2）知，抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+1$，
设平移后的抛物线的解析式为$y=-x^{2}+px+q$，其顶点坐标为（$\frac{p}{2}$，$\frac{{p}^{2}}{4}+q)$，
$\because$顶点仍在直线$y=x+1$上，
$\therefore \frac{{p}^{2}}{4}+q=\frac{p}{2}+1$，
$\therefore q=-\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{p}{2}+1$，
$\because$抛物线$y=-x^{2}+px+q$与$y$轴的交点的纵坐标为$q$，
$\therefore q=-\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{p}{2}+1=-\frac{1}{4}(p-1)^{2}+\frac{5}{4}$，
$\therefore$当$p=1$时，平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值为$\frac{5}{4}$.
另
$\because$平移抛物线$y=-x^{2}+2x+1$，其顶点仍在直线$y=x+1$上，
设平移后的抛物线的解析式为$y=-\left(x-h\right)^{2}+h+1$，
$\therefore y=-x^{2}+2hx-h^{2}+h+1$，
设平移后所得抛物线与$y$轴交点的纵坐标为$c$，则$c=-h^{2}+h+1=-(h-\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{4}$，
$\therefore$当$h=\frac{1}{2}$时，平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值为$\frac{5}{4}$.

$\left(1\right)\because$直线$y=x+m$经过点$A\left(1,2\right)$，
$\therefore 2=1+m$，解得$m=1$，
$\therefore$直线为$y=x+1$；
$(2)\because$直线$y=x+1$与抛物线$y=ax^{2}+bx+1$都经过点$\left(0,1\right)$，$A\left(1,2\right)$，$B\left(2,3\right)$都在直线上，所以直线与抛物线不可能有三个交点.
且$B$、$C$两点的横坐标相同，
$\therefore$抛物线只能经过$A$、$C$两点，
把$A\left(1,2\right)$，$C\left(2,1\right)$代入$y=ax^{2}+bx+1$得$\left\{{\begin{array}{l}{a+b+1=2}\\{4a+2b+1=1}\end{array}}\right.$，
解得$a=-1$，$b=2$；
$(3)$由（2）知，抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+1$，
设平移后的抛物线的解析式为$y=-x^{2}+px+q$，其顶点坐标为（$\frac{p}{2}$，$\frac{{p}^{2}}{4}+q)$，
$\because$顶点仍在直线$y=x+1$上，
$\therefore \frac{{p}^{2}}{4}+q=\frac{p}{2}+1$，
$\therefore q=-\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{p}{2}+1$，
$\because$抛物线$y=-x^{2}+px+q$与$y$轴的交点的纵坐标为$q$，
$\therefore q=-\frac{{p}^{2}}{4}+\frac{p}{2}+1=-\frac{1}{4}(p-1)^{2}+\frac{5}{4}$，
$\therefore$当$p=1$时，平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值为$\frac{5}{4}$.
另
$\because$平移抛物线$y=-x^{2}+2x+1$，其顶点仍在直线$y=x+1$上，
设平移后的抛物线的解析式为$y=-\left(x-h\right)^{2}+h+1$，
$\therefore y=-x^{2}+2hx-h^{2}+h+1$，
设平移后所得抛物线与$y$轴交点的纵坐标为$c$，则$c=-h^{2}+h+1=-(h-\frac{1}{2})^{2}+\frac{5}{4}$，
$\therefore$当$h=\frac{1}{2}$时，平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值为$\frac{5}{4}$.