D

$\because$二次函数$y=x^{2}+2x-8=\left(x+1\right)^{2}-9=\left(x+4\right)\left(x-2\right)$，
$\therefore$该函数的对称轴是直线$x=-1$，在$y$轴的左侧，故选项$A$错误；
当$x=0$时，$y=-8$，即该函数与$y$轴交于点$\left(0,-8\right)$，故选项$B$错误；
当$y=0$时，$x=2$或$x=-4$，即图象与$x$轴的交点坐标为$\left(2,0\right)$和$\left(-4,0\right)$，故选项$C$错误；
当$x=-1$时，该函数取得最小值$y=-9$，故选项$D$正确；
故选：$D$.