如图$1$,二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的图象与$x$轴相交于$A$、$B$两点,其中$B$点的坐标为$\left(6,0\right)$,与$y$轴交于点$C\left(0,4\right)$,对称轴为直线$x=2$.
$(1)$求该二次函数的解析式；
$(2)P$是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接$PA$交$BC$于点$E$,连接$BP$,$CP$,$AC$.若$\triangle PBC$和$\triangle PAC$的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,请求出$S_{1}+S_{2}$的最大值及取得最大值时点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将抛物线$y$沿射线$BC$平移$\sqrt{13}$个单位得新抛物线${y\’}$,$Q$为新抛物线${y\’}$上一点,作直线$BQ$,当点$C$到直线$BQ$的距离是点$A$到直线$BQ$的距离的$3$倍时,直接写出点$Q$的横坐标.