（1）根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{c=4}\\{-\frac{b}{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+4$；
$(2)$过点$P$作$y$轴的平行线，交$BC$于点$M$，交$AC$延长线于点$N$，如图：

$\because$抛物线的对称轴为直线$x=2$，$B$点的坐标为$\left(6,0\right)$，
$\therefore A\left(-2,0\right)$，
由$A\left(-2,0\right)$，$C\left(0,4\right)$得直线$AC$解析式为$y=2x+4$；
由$B\left(6,0\right)$，$C\left(0,4\right)$得直线$BC$解析式为$y=-\frac{2}{3}x+4$；
设$P(p$，$-\frac{1}{3}p^{2}+\frac{4}{3}p+4)$，则$M(p$，$-\frac{2}{3}p+4),N\left(p,2p+4\right)$，
$\therefore PM=-\frac{1}{3}p^{2}+\frac{4}{3}p+4-(-\frac{2}{3}p+4)=-\frac{1}{3}p^{2}+2p$，$PN=2p+4-(-\frac{1}{3}p^{2}+\frac{4}{3}p+4)=\frac{1}{3}p^{2}+\frac{2}{3}p$，
$\therefore S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}PM\cdot |x_{B}-x_{C}|+\frac{1}{2}PN\cdot |x_{A}-x_{C}|=\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{3}p^{2}+2p)\times 6+\frac{1}{2}\times (\frac{1}{3}p^{2}+\frac{2}{3}p)\times 2=-\frac{2}{3}p^{2}+\frac{20}{3}p=-\frac{2}{3}(p-5)^{2}+\frac{50}{3}$，
$\because -\frac{2}{3} \lt 0$，
$\therefore$当$p=5$时，$S_{1}+S_{2}$的最大值为$\frac{50}{3}$，
此时$P(5$，$\frac{7}{3})$；
$\therefore S_{1}+S_{2}$的最大值为$\frac{50}{3}$，取得最大值时点$P$的坐标为$(5$，$\frac{7}{3})$；
$(3)\because B\left(6,0\right),C\left(0,4\right)$，
$\therefore$将抛物线$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+4$沿射线$BC$平移$\sqrt{13}$个单位相当于把抛物线向左平移$3$个单位，再向上平移$2$个单位，
$\therefore {y\’}=-\frac{1}{3}(x+3)^{2}+\frac{4}{3}\left(x+3\right)+4+2=-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x+7$，
设直线$BQ$交直线$AC$于$H$，过$H$作$HE\bot y$轴于$E$，过$C$作$CG\bot BQ$于$G$，过$A$作$AF\bot BQ$于$F$，
①当$BQ$在$x$轴下方时，如图：

$\because CG\bot BQ$，$AF\bot BQ$，
$\therefore CG$∥$AF$，
$\therefore \triangle HAF$∽$\triangle HCG$，
$\therefore \frac{HA}{HC}=\frac{AF}{CG}=\frac{1}{3}$，
$\therefore HC=3HA$，
$\therefore \frac{CA}{CH}=\frac{2}{3}$，
$\because HE\bot y$轴，
$\therefore OA$∥$HE$，
$\therefore \triangle CAO$∽$\triangle CHE$，
$\therefore \frac{OA}{HE}=\frac{CA}{CH}=\frac{2}{3}$，
$\because A\left(-2,0\right)$，
$\therefore HE=3$，
在$y=2x+4$中，令$x=-3$得$y=-2$，
$\therefore H\left(-3,-2\right)$，
由$B\left(6,0\right)$，$H\left(-3,-2\right)$得直线$BH$解析式为$y=\frac{2}{9}x-\frac{4}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{9}x-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+7}\end{array}\right.$可得$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x+7=\frac{2}{9}x-\frac{4}{3}$，
解得$x=\frac{-4+\sqrt{241}}{3}$或$x=\frac{-4-\sqrt{241}}{3}$，
$\therefore Q$的横坐标为$\frac{-4+\sqrt{241}}{3}$或$\frac{-4-\sqrt{241}}{3}$；
②当$BQ$在$x$轴上方时，如图：

同理可得$H(-\frac{3}{2}$，$1)$，直线$BH$解析式为$y=-\frac{2}{15}x+\frac{4}{5}$，
由$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x+7=-\frac{2}{15}x+\frac{4}{5}$解得$x=\frac{-4+\sqrt{481}}{5}$或$x=\frac{-4-\sqrt{481}}{5}$，
$\therefore Q$的横坐标为$\frac{-4+\sqrt{481}}{5}$或$\frac{-4-\sqrt{481}}{5}$；
综上所述，$Q$的横坐标为$\frac{-4+\sqrt{241}}{3}$或$\frac{-4-\sqrt{241}}{3}$或$\frac{-4+\sqrt{481}}{5}$或$\frac{-4-\sqrt{481}}{5}$.

（1）根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{c=4}\\{-\frac{b}{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+4$；
$(2)$过点$P$作$y$轴的平行线，交$BC$于点$M$，交$AC$延长线于点$N$，如图：

$\because$抛物线的对称轴为直线$x=2$，$B$点的坐标为$\left(6,0\right)$，
$\therefore A\left(-2,0\right)$，
由$A\left(-2,0\right)$，$C\left(0,4\right)$得直线$AC$解析式为$y=2x+4$；
由$B\left(6,0\right)$，$C\left(0,4\right)$得直线$BC$解析式为$y=-\frac{2}{3}x+4$；
设$P(p$，$-\frac{1}{3}p^{2}+\frac{4}{3}p+4)$，则$M(p$，$-\frac{2}{3}p+4),N\left(p,2p+4\right)$，
$\therefore PM=-\frac{1}{3}p^{2}+\frac{4}{3}p+4-(-\frac{2}{3}p+4)=-\frac{1}{3}p^{2}+2p$，$PN=2p+4-(-\frac{1}{3}p^{2}+\frac{4}{3}p+4)=\frac{1}{3}p^{2}+\frac{2}{3}p$，
$\therefore S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}PM\cdot |x_{B}-x_{C}|+\frac{1}{2}PN\cdot |x_{A}-x_{C}|=\frac{1}{2}\times (-\frac{1}{3}p^{2}+2p)\times 6+\frac{1}{2}\times (\frac{1}{3}p^{2}+\frac{2}{3}p)\times 2=-\frac{2}{3}p^{2}+\frac{20}{3}p=-\frac{2}{3}(p-5)^{2}+\frac{50}{3}$，
$\because -\frac{2}{3} \lt 0$，
$\therefore$当$p=5$时，$S_{1}+S_{2}$的最大值为$\frac{50}{3}$，
此时$P(5$，$\frac{7}{3})$；
$\therefore S_{1}+S_{2}$的最大值为$\frac{50}{3}$，取得最大值时点$P$的坐标为$(5$，$\frac{7}{3})$；
$(3)\because B\left(6,0\right),C\left(0,4\right)$，
$\therefore$将抛物线$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+4$沿射线$BC$平移$\sqrt{13}$个单位相当于把抛物线向左平移$3$个单位，再向上平移$2$个单位，
$\therefore {y\’}=-\frac{1}{3}(x+3)^{2}+\frac{4}{3}\left(x+3\right)+4+2=-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x+7$，
设直线$BQ$交直线$AC$于$H$，过$H$作$HE\bot y$轴于$E$，过$C$作$CG\bot BQ$于$G$，过$A$作$AF\bot BQ$于$F$，
①当$BQ$在$x$轴下方时，如图：

$\because CG\bot BQ$，$AF\bot BQ$，
$\therefore CG$∥$AF$，
$\therefore \triangle HAF$∽$\triangle HCG$，
$\therefore \frac{HA}{HC}=\frac{AF}{CG}=\frac{1}{3}$，
$\therefore HC=3HA$，
$\therefore \frac{CA}{CH}=\frac{2}{3}$，
$\because HE\bot y$轴，
$\therefore OA$∥$HE$，
$\therefore \triangle CAO$∽$\triangle CHE$，
$\therefore \frac{OA}{HE}=\frac{CA}{CH}=\frac{2}{3}$，
$\because A\left(-2,0\right)$，
$\therefore HE=3$，
在$y=2x+4$中，令$x=-3$得$y=-2$，
$\therefore H\left(-3,-2\right)$，
由$B\left(6,0\right)$，$H\left(-3,-2\right)$得直线$BH$解析式为$y=\frac{2}{9}x-\frac{4}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{9}x-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x+7}\end{array}\right.$可得$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x+7=\frac{2}{9}x-\frac{4}{3}$，
解得$x=\frac{-4+\sqrt{241}}{3}$或$x=\frac{-4-\sqrt{241}}{3}$，
$\therefore Q$的横坐标为$\frac{-4+\sqrt{241}}{3}$或$\frac{-4-\sqrt{241}}{3}$；
②当$BQ$在$x$轴上方时，如图：

同理可得$H(-\frac{3}{2}$，$1)$，直线$BH$解析式为$y=-\frac{2}{15}x+\frac{4}{5}$，
由$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x+7=-\frac{2}{15}x+\frac{4}{5}$解得$x=\frac{-4+\sqrt{481}}{5}$或$x=\frac{-4-\sqrt{481}}{5}$，
$\therefore Q$的横坐标为$\frac{-4+\sqrt{481}}{5}$或$\frac{-4-\sqrt{481}}{5}$；
综上所述，$Q$的横坐标为$\frac{-4+\sqrt{241}}{3}$或$\frac{-4-\sqrt{241}}{3}$或$\frac{-4+\sqrt{481}}{5}$或$\frac{-4-\sqrt{481}}{5}$.