$\because y=-4\left(x+a\right)^{2}+3a^{2}+2a$，
$\therefore$对称轴为：直线$x=-a$，
$\because -1\leqslant x\leqslant 1$，
当$-a \lt -1$时，
$\because -4 \lt 0$，$x\geqslant -a$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x=-1$时，$y$取到最大值.
$\therefore -4\times \left(-1\right)^{2}+8a-a^{2}+2a=5$，
解得，$a=1$或$9$，
$\because a \gt 1$，
$\therefore a=9$；
当$-1\leqslant -a\leqslant 1$时，
$\because -4 \lt 0$，顶点为最高点，当$x=-a$时，$y$取到最大值.
$\therefore 3a^{2}+2a=5$，
解得，$a=1$或$-\frac{5}{3}$，
$\because -1\leqslant a\leqslant 1$，
$\therefore a=1$；
当$-a \gt 1$时，
$\because -4 \lt 0$，$x\leqslant -a$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x=1$时，$y$取到最大值.
$\therefore -4\times 1^{2}-8a-a^{2}+2a=5$，
解得，$a_{1}=a_{2}=-3$，
$\because a \lt -1$，
$\therefore a=-3$符合题意.
综上，$a$的值为$-3$或$1$或$9$.
故答案为：$-3$或$1$或$9$

$\because y=-4\left(x+a\right)^{2}+3a^{2}+2a$，
$\therefore$对称轴为：直线$x=-a$，
$\because -1\leqslant x\leqslant 1$，
当$-a \lt -1$时，
$\because -4 \lt 0$，$x\geqslant -a$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x=-1$时，$y$取到最大值.
$\therefore -4\times \left(-1\right)^{2}+8a-a^{2}+2a=5$，
解得，$a=1$或$9$，
$\because a \gt 1$，
$\therefore a=9$；
当$-1\leqslant -a\leqslant 1$时，
$\because -4 \lt 0$，顶点为最高点，当$x=-a$时，$y$取到最大值.
$\therefore 3a^{2}+2a=5$，
解得，$a=1$或$-\frac{5}{3}$，
$\because -1\leqslant a\leqslant 1$，
$\therefore a=1$；
当$-a \gt 1$时，
$\because -4 \lt 0$，$x\leqslant -a$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x=1$时，$y$取到最大值.
$\therefore -4\times 1^{2}-8a-a^{2}+2a=5$，
解得，$a_{1}=a_{2}=-3$，
$\because a \lt -1$，
$\therefore a=-3$符合题意.
综上，$a$的值为$-3$或$1$或$9$.
故答案为：$-3$或$1$或$9$