（1）由二次函数$y=x^{2}+px+q$的图象经过$\left(-1,0\right)$和$\left(2,0\right)$两点，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{1-p+q=0}\\{4+2p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
$\therefore$此二次函数的表达式为$y=x^{2}-x-2$；
$(2)\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$在$-2\leqslant x\leqslant 1$范围内，当$x=-2$，函数有最大值为：$y=4+2-2=4$；当$x=\frac{1}{2}$时函数有最小值：$y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$，
$\therefore y$的最大值与最小值的差为：$4-(-\frac{9}{4})=\frac{25}{4}$；

$(3)y=\left(2-m\right)x+2-m$与二次函数$y=x^{2}-x-2$图象交点的横坐标为$a$和$b$，
$\therefore x^{2}-x-2=\left(2-m\right)x+2-m$，整理得$x^{2}+\left(m-3\right)x+m-4=0$，
解得：$x_{1}=-1$，$x_{2}=4-m$，
$\because a \lt 3 \lt b$，
$\therefore a=-1$，$b=4-m \gt 3$，
故解得$m \lt 1$，即$m$的取值范围是$m \lt 1$.

（1）由二次函数$y=x^{2}+px+q$的图象经过$\left(-1,0\right)$和$\left(2,0\right)$两点，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{1-p+q=0}\\{4+2p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
$\therefore$此二次函数的表达式为$y=x^{2}-x-2$；
$(2)\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$在$-2\leqslant x\leqslant 1$范围内，当$x=-2$，函数有最大值为：$y=4+2-2=4$；当$x=\frac{1}{2}$时函数有最小值：$y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$，
$\therefore y$的最大值与最小值的差为：$4-(-\frac{9}{4})=\frac{25}{4}$；

$(3)y=\left(2-m\right)x+2-m$与二次函数$y=x^{2}-x-2$图象交点的横坐标为$a$和$b$，
$\therefore x^{2}-x-2=\left(2-m\right)x+2-m$，整理得$x^{2}+\left(m-3\right)x+m-4=0$，
解得：$x_{1}=-1$，$x_{2}=4-m$，
$\because a \lt 3 \lt b$，
$\therefore a=-1$，$b=4-m \gt 3$，
故解得$m \lt 1$，即$m$的取值范围是$m \lt 1$.