在平面直角坐标系$xOy$中,关于$x$的二次函数$y=x^{2}+px+q$的图象过点$\left(-1,0\right)$,$\left(2,0\right)$.
$(1)$求这个二次函数的表达式；
$(2)$求当$-2\leqslant x\leqslant 1$时,$y$的最大值与最小值的差；
$(3)$一次函数$y=\left(2-m\right)x+2-m$的图象与二次函数$y=x^{2}+px+q$的图象交点的横坐标分别是$a$和$b$,且$a \lt 3 \lt b$,求$m$的取值范围.