数学活动课上,老师准备了若干个如图$1$的三种纸片,$A$种纸片是边长为$a$的正方形,$B$种纸片是边长为$b$的正方形,$C$种纸片是长为$b$、宽为$a$的长方形,并用$A$种纸片一张,$B$种纸片一张,$C$种纸片两张拼成如图$2$的大正方形.
$(1)$观察图$2$,请你写出下列三个代数式:$\left(a+b\right)^{2}$,$a^{2}+b^{2}$,$ab$之间的等量关系.
$(2)$若要拼出一个面积为$\left(a+2b\right)\left(a+b\right)$的矩形,则需要$A$号卡片$1$张,$B$号卡片$2$张,$C$号卡片______张.
$(3)$根据（1）题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:$a+b=5$,$a^{2}+b^{2}=11$,求$ab$的值；
②已知$\left(x-2021\right)^{2}+\left(x-2023\right)^{2}=20$,求$x-2022$的值.