在一次数学活动课上,张老师准备了若干张如图$1$所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种纸片是边长为$x$的正方形,乙种纸片是边长为$y$的正方形,丙种纸片是长为$y$,宽为$x$的长方形,并用甲种纸片一张,乙种纸片一张,丙种纸片两张拼成了如图$2$所示的一个大正方形.
$(1)$观察图$2$,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式；
$(2)$利用（1）中的等式解决下列问题.
①已知$a^{2}+b^{2}=10$,$a+b=6$,求$ab$的值；
②已知$\left(2021-c\right)\left(c-2019\right)=1$,求$\left(2021-c\right)^{2}+\left(c-2019\right)^{2}$的值.