C

如图，连接$AC$，则$AC$过点$O$，

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB$∥$CD$，
$\therefore \angle OAE=\angle OCF$，$\angle OEA=\angle OFC$，$OA=OC$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle COF\left(AAS\right)$，
$\therefore OE=OF$，
又$\because OA=OC$，
$\therefore$四边形$AECF$一定是平行四边形，
在点$E$移动的过程中，移动存在$AC\bot EF$的时候，此时四边形$AECF$是菱形，
当点$E$移动到点$B$时，四边形$AECF$即变为四边形$ABCD$，此时是矩形，
在移动的过程中，不存在$AC\bot EF$且$AC=EF$的情况，因此不可能是正方形，
故选：$C$.