【例题讲解】因式分解:$x^{3}-1$.
$\because x^{3}-1$为三次二项式,若能因式分解,则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想$x^{3}-1$可以分解成$\left(x-1\right)(x^{2}+ax+b)$,
展开等式右边得:$x^{3}+\left(a-1\right)x^{2}+\left(b-a\right)x-b$,
$\therefore x^{3}-1=x^{3}+\left(a-1\right)x^{2}+\left(b-a\right)x-b$恒成立.
$\therefore$等式两边多项式的同类项的对应系数相等,即$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ b-a=0\\-b=-1\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$,
$\therefore x^{3}-1=\left(x-1\right)(x^{2}+x+1)$.
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数,利用当两个多项式为恒等式时,同类项系数相等的原理确定这些系数,从而得到待求的值,这种方法叫待定系数法.
【学以致用】
$(1)$若$x^{2}-mx-12=\left(x+3\right)\left(x-4\right)$,则$m=$______；
$(2)$若$x^{3}+3x^{2}-3x+k$有一个因式是$x+1$,求$k$的值及另一个因式；
$(3)$若多项式$x^{4}+mx^{3}+nx-4$有因式$x+1$和$x-2$,求$m$、$n$的值.