数形结合是解决数学问题的重要思想方法,在学习"因式分解"时,我们可以借助直观、形象的几何模型来求解.下面图$1$中共有三种卡片:$A$型卡片是边长为$x$的正方形；$B$型卡片是长为$y$,宽为$x$的长方形；$C$型卡片是边长为$y$的正方形.

$(1)$用$1$张$A$型卡片、$2$张$B$型卡片拼成如图$2$的图形,根据图$2$,多项式$x^{2}+2xy$因式分解的结果为______；
$(2)$请用$1$张$A$型卡片、$2$张$B$型卡片、$1$张$C$型卡片拼成一个大正方形,在下面的虚线框中画出正方形的示意图,再据此写出一个多项式的因式分解.
再写出一个多项式的因式分解:______；
$(3)$若仍要用这三种卡片紧密拼成一个大正方形,用$1$张$A$型卡片、$4$张$C$型卡片,求所需的$B$型卡片的数量.