C

$A$、根据$\angle AOC=\angle BOD$，$AC=BD$，$AO=BO$不能推出$\triangle AOC$≌$\triangle BOD$，故本选项不符合题意；
$B$、$\because AC=BD$，$\angle AOC=\angle BOD$，$AC=BD$，
$\therefore$根据$SSA$无法推出$\triangle AOC$≌$\triangle BOD$，故本选项不符合题意；
$C$、添加$AB=CD$，连接$BC$，如图，

$\because AC=BD$，$AB=DC$，$BC=BC$，
$\therefore \triangle ACB$≌$\triangle DBC$
$\therefore \angle A=\angle D$，
$\because \angle AOC=\angle DOB$，$AC=DB$，
$\therefore \triangle AOC$≌$\triangle BOD$，故本选项符合题意；
$D$、$\because$选项$C$符合题意，
$\therefore$选项$D$不符合题意；
故选：$C$.