C

把$x=0$代入一元二次方程$\left(k-1\right)x^{2}+3x+k^{2}-1=0$，
得$k^{2}-1=0$，
解得$k=-1$或$1$；
又$k-1\neq 0$，
即$k\neq 1$；
所以$k=-1$.
故选：$C$.