过$P$作$PE$∥$BC$交$AC$于$E$，如图所示：

$\because \triangle ABC$为等边三角形，边长为$6$，
$\therefore AB=BC=AC=6$，$\angle A=\angle ABC=\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle APE=\angle ABC=\angle A=60^{\circ}$，$\angle PBM=180^{\circ}-\angle ABC=120^{\circ}$，
$\therefore \triangle APE$为等边三角形，
$\therefore AE=PE=AP$，$\angle AEP=60^{\circ}$，$\angle BPE=180^{\circ}-\angle APE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle NEP=180^{\circ}-\angle AEP=120^{\circ}$，
$\therefore \angle PBM=\angle NEP$，
$\because$点$P$为$AB$的中点，
$\therefore PA=PB=PE=3$，
又$\because \angle MPN=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN=\angle BPE=120^{\circ}$，
即$\angle MPB+\angle BPN=\angle BPN+\angle NPE$，
$\therefore \angle MPB=\angle NPE$，
在$\triangle MPB$和$\triangle NPE$中，
$\angle MPB=\angle NPE$，$PB=PE$，$\angle PBM=\angle NEP$，
$\therefore \triangle MPB$≌$\triangle NPE\left(ASA\right)$，
$\therefore MB=NE$，
$\therefore CM=CB+BM=6+EN$，$CN=CE-EN=3-EN$，
$\therefore t=2AC-CM-CN=2\times 6-\left(6+EN\right)-\left(3-EN\right)=3$，
$\because \frac{2x+n}{x-2}=t$，
$\therefore \frac{2x+n}{x-2}=3$，整理得：$x=n+6$，
关于$x$的方程$\frac{2x+n}{x-2}=t$的解是正数，
$\therefore n+6\neq 2$且$n+6 \gt 0$，
$\therefore n \gt -6$且$n\neq -4$.
故答案为：$n \gt -6$且$n\neq -4$.

过$P$作$PE$∥$BC$交$AC$于$E$，如图所示：

$\because \triangle ABC$为等边三角形，边长为$6$，
$\therefore AB=BC=AC=6$，$\angle A=\angle ABC=\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle APE=\angle ABC=\angle A=60^{\circ}$，$\angle PBM=180^{\circ}-\angle ABC=120^{\circ}$，
$\therefore \triangle APE$为等边三角形，
$\therefore AE=PE=AP$，$\angle AEP=60^{\circ}$，$\angle BPE=180^{\circ}-\angle APE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle NEP=180^{\circ}-\angle AEP=120^{\circ}$，
$\therefore \angle PBM=\angle NEP$，
$\because$点$P$为$AB$的中点，
$\therefore PA=PB=PE=3$，
又$\because \angle MPN=120^{\circ}$，
$\therefore \angle MPN=\angle BPE=120^{\circ}$，
即$\angle MPB+\angle BPN=\angle BPN+\angle NPE$，
$\therefore \angle MPB=\angle NPE$，
在$\triangle MPB$和$\triangle NPE$中，
$\angle MPB=\angle NPE$，$PB=PE$，$\angle PBM=\angle NEP$，
$\therefore \triangle MPB$≌$\triangle NPE\left(ASA\right)$，
$\therefore MB=NE$，
$\therefore CM=CB+BM=6+EN$，$CN=CE-EN=3-EN$，
$\therefore t=2AC-CM-CN=2\times 6-\left(6+EN\right)-\left(3-EN\right)=3$，
$\because \frac{2x+n}{x-2}=t$，
$\therefore \frac{2x+n}{x-2}=3$，整理得：$x=n+6$，
关于$x$的方程$\frac{2x+n}{x-2}=t$的解是正数，
$\therefore n+6\neq 2$且$n+6 \gt 0$，
$\therefore n \gt -6$且$n\neq -4$.
故答案为：$n \gt -6$且$n\neq -4$.