D

去分母得，$-m+2\left(x-1\right)=3$，
解得，$x=\frac{m+5}{2}$，
$\because$关于$x$的分式方程$\frac{m}{1-x}+2=\frac{3}{x-1}$有正数解，
$\therefore \frac{m+5}{2} \gt 0$，
$\therefore m \gt -5$，
又$\because x=1$是增根，当$x=1$时，$\frac{m+5}{2}=1$，即$m=-3$
$\therefore m\neq -3$，
$\because \sqrt{2-m}$有意义，
$\therefore 2-m\geqslant 0$，
$\therefore m\leqslant 2$，
因此$-5 \lt m\leqslant 2$且$m\neq -3$，
$\because m$为整数，
：$\therefore$整数$m$为$-4$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，其和为$-4$，
故选：$D$.