A

由$y-x=3$得$y=x+3$，
则$x+y \gt 1$可变形为$x+x+3 \gt 1$，
解得$x \gt -1$，
$\frac{4-y}{2}\geqslant -1$可变形为$\frac{4-x-3}{2}\geqslant -1$，
解得$x\leqslant 3$，
$\therefore -1 \lt x\leqslant 3$，
故选：$A$.