（1）四边形$ADCE$是矩形，理由如下：
$\because \triangle ABD$∽$\triangle EAF$，
$\therefore \angle BDA=\angle AFE=90^{\circ}$，$\angle DBA=\angle FAE$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\because BD=CD$，$BD=AE$
$\therefore CD=AE$，$AB=AC$，
$\therefore \angle DCA=\angle DBA=\angle FAE$，
$\therefore AE$∥$CD$，
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形，
$\because \angle ADC=180^{\circ}-\angle BDA=90^{\circ}$
$\therefore$四边形$ADCE$是矩形；
$(2)$由（1）得四边形$ADCE$是矩形，$BD=CD=AE$，
$\therefore \angle AEC=90^{\circ}$，$AE=CD=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore AC=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$，$AE\bot CE$，
$\because EF\bot AC$，
$\therefore {S}_{△AEC}=\frac{1}{2}AC•EF=\frac{1}{2}CE•AE$，
$\therefore \frac{1}{2}\sqrt{13}×EF=\frac{1}{2}×2×3$，
$\therefore EF=\frac{6\sqrt{13}}{13}$.

（1）四边形$ADCE$是矩形，理由如下：
$\because \triangle ABD$∽$\triangle EAF$，
$\therefore \angle BDA=\angle AFE=90^{\circ}$，$\angle DBA=\angle FAE$，
$\therefore AD\bot BC$，
$\because BD=CD$，$BD=AE$
$\therefore CD=AE$，$AB=AC$，
$\therefore \angle DCA=\angle DBA=\angle FAE$，
$\therefore AE$∥$CD$，
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形，
$\because \angle ADC=180^{\circ}-\angle BDA=90^{\circ}$
$\therefore$四边形$ADCE$是矩形；
$(2)$由（1）得四边形$ADCE$是矩形，$BD=CD=AE$，
$\therefore \angle AEC=90^{\circ}$，$AE=CD=\frac{1}{2}BC=2$，
$\therefore AC=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$，$AE\bot CE$，
$\because EF\bot AC$，
$\therefore {S}_{△AEC}=\frac{1}{2}AC•EF=\frac{1}{2}CE•AE$，
$\therefore \frac{1}{2}\sqrt{13}×EF=\frac{1}{2}×2×3$，
$\therefore EF=\frac{6\sqrt{13}}{13}$.