（1）①连接$OD$、$OE$，

则$DO=OE=DA=AE=2$，
则$\triangle OAD$、$\triangle AEO$均为等边三角形，
则$\angle DAO=\angle EAO=60^{\circ}$，
则$\angle ADE=\angle DAO+\angle EAO=120^{\circ}$，
故答案为：$120$；
②记点$O$为$\triangle ADE$外接圆圆心，过点$O$作$OF\bot AE$于点$F$，连接$OA$，$OD$，$OE$.

$\because$点$O$为$\triangle ADE$外接圆的圆心，
$\therefore OA=OE=OD$，
$\therefore AF=EF=\frac{1}{2}AE=1$，
$\because AE=\frac{2}{3}AB$，
$\therefore AB=3$，
$\because AE=AD$，$OE=OD$，$OA=OA$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle AOD\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle EAO=\angle DAO$，
$\because BO$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABO=\angle CBO$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAB+\angle ABC=180^{\circ}$，
$\therefore 2\angle EAO+2\angle ABO=180^{\circ}$，即$\angle EAO+\angle ABO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\because OF\bot AE$，
$\therefore \angle AFO=\angle AOB=90^{\circ}$，
$\because \angle FAO=\angle OAB$，
$\therefore \triangle FAO$∽$\triangle OAB$，
$\therefore OA:OB=AF:AO$，
即$AO^{2}=AF\cdot AB=3$，
$\therefore AO=\sqrt{3}$，
$\therefore \triangle ADE$外接圆半径为$\sqrt{3}$；
$(2)$延长$BA$，$CD$交于点$P$，

$\because AD=AE=2$，$AE=\frac{2}{3}AB$，
$\therefore AB=3$，
$\because AD$∥$BC$，$BC=5$，
$\therefore AP:BP=AD:BC=2:5$，
$\therefore AP=2=AD=AE$，
$\because BE=AB-AE=1$，$PE=AE+AP=4$，
$\therefore BE=\frac{1}{5}PB$，
$\because CD^{2}=DM\cdot DN$，
$\therefore \triangle DCN$∽$\triangle DMC$，
$\therefore \angle DCN=\angle DMC=\angle CEM$，
$\therefore EM$∥$CD$，
$\therefore BM=\frac{1}{5}CB=1$，
$\therefore CM=4$，$MB=1$，
$\because BP=BC=5$，
$\therefore \angle P=\angle DCM$，
$\because \angle ECP=\angle DMC$，
$\therefore \triangle ECP$∽$\triangle DMC$，
$\therefore EP:CD=CP:CM$，
设$DP=2a$，则$CD=3a$，$CP=5a$，
$\therefore \frac{4}{3a}=\frac{5a}{4}$，
解得$a=\frac{4\sqrt{15}}{15}$，
$\therefore CD=\frac{4\sqrt{15}}{5}$.

（1）①连接$OD$、$OE$，

则$DO=OE=DA=AE=2$，
则$\triangle OAD$、$\triangle AEO$均为等边三角形，
则$\angle DAO=\angle EAO=60^{\circ}$，
则$\angle ADE=\angle DAO+\angle EAO=120^{\circ}$，
故答案为：$120$；
②记点$O$为$\triangle ADE$外接圆圆心，过点$O$作$OF\bot AE$于点$F$，连接$OA$，$OD$，$OE$.

$\because$点$O$为$\triangle ADE$外接圆的圆心，
$\therefore OA=OE=OD$，
$\therefore AF=EF=\frac{1}{2}AE=1$，
$\because AE=\frac{2}{3}AB$，
$\therefore AB=3$，
$\because AE=AD$，$OE=OD$，$OA=OA$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle AOD\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle EAO=\angle DAO$，
$\because BO$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABO=\angle CBO$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAB+\angle ABC=180^{\circ}$，
$\therefore 2\angle EAO+2\angle ABO=180^{\circ}$，即$\angle EAO+\angle ABO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\because OF\bot AE$，
$\therefore \angle AFO=\angle AOB=90^{\circ}$，
$\because \angle FAO=\angle OAB$，
$\therefore \triangle FAO$∽$\triangle OAB$，
$\therefore OA:OB=AF:AO$，
即$AO^{2}=AF\cdot AB=3$，
$\therefore AO=\sqrt{3}$，
$\therefore \triangle ADE$外接圆半径为$\sqrt{3}$；
$(2)$延长$BA$，$CD$交于点$P$，

$\because AD=AE=2$，$AE=\frac{2}{3}AB$，
$\therefore AB=3$，
$\because AD$∥$BC$，$BC=5$，
$\therefore AP:BP=AD:BC=2:5$，
$\therefore AP=2=AD=AE$，
$\because BE=AB-AE=1$，$PE=AE+AP=4$，
$\therefore BE=\frac{1}{5}PB$，
$\because CD^{2}=DM\cdot DN$，
$\therefore \triangle DCN$∽$\triangle DMC$，
$\therefore \angle DCN=\angle DMC=\angle CEM$，
$\therefore EM$∥$CD$，
$\therefore BM=\frac{1}{5}CB=1$，
$\therefore CM=4$，$MB=1$，
$\because BP=BC=5$，
$\therefore \angle P=\angle DCM$，
$\because \angle ECP=\angle DMC$，
$\therefore \triangle ECP$∽$\triangle DMC$，
$\therefore EP:CD=CP:CM$，
设$DP=2a$，则$CD=3a$，$CP=5a$，
$\therefore \frac{4}{3a}=\frac{5a}{4}$，
解得$a=\frac{4\sqrt{15}}{15}$，
$\therefore CD=\frac{4\sqrt{15}}{5}$.