在梯形$ABCD$中$,AD$∥$BC$,点$E$在边$AB$上,$AE=\frac{2}{3}AB$,$AD=AE=2$.
$(1)$如图$1$所示,点$O$为$\triangle ADE$的外接圆圆心,
①当$\triangle ADE$的外接圆半径等于$2$时,$\angle DAE$的度数是______$^{\circ}.$
②如图$2$所示,若$\triangle ADE$外接圆圆心$O$又恰好落在$\angle ABC$的平分线上,求$\triangle ADE$外接圆的半径长.
$(2)$如图$3$所示,如果点$M$在边$BC$上,连结$EM$、$DM$、$EC$,$DM$与$EC$交于$N$.如果$\angle DMC=\angle CEM$,$BC=5$,且$CD^{2}=DM\cdot DN$,直接写出边$CD$的长.