$\because |m-3|+\left(n-6\right)^{2}=0$，
$\therefore m-3=0$，$n-6=0$，
解得：$m=3$，$n=6$，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为$3$，底边长为$6$时，
$\because 3+3=6$，
$\therefore$不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为$6$，底边长为$3$时，
$\because 3+6=9 \gt 6$，
$\therefore$能组成三角形；
综上所述：$\triangle ABC$的腰长为$6$，
故答案为：$6$.

$\because |m-3|+\left(n-6\right)^{2}=0$，
$\therefore m-3=0$，$n-6=0$，
解得：$m=3$，$n=6$，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为$3$，底边长为$6$时，
$\because 3+3=6$，
$\therefore$不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为$6$，底边长为$3$时，
$\because 3+6=9 \gt 6$，
$\therefore$能组成三角形；
综上所述：$\triangle ABC$的腰长为$6$，
故答案为：$6$.