$\left(1\right)\because$实数$x$的立方根是$2$，
$\therefore x=8$，
又$\because$实数$y$、$z$满足$\left(y-z+2\right)^{2}=-\sqrt{y-15}$，
$\therefore y-z+2=0$，$y-15=0$，
解得，$y=15$，$z=17$，
答：$x=8$，$y=15$，$z=17$；
$(2)\triangle ABC$是直角三角形；
$\because x^{2}+y^{2}=64+225=189=17^{2}=z^{2}$，
$\therefore$以$x$、$y$、$z$为边长的$\triangle ABC$是直角三角形，
根据面积公式可知，$8\times 15\div 2=17\cdot h\div 2$，
解得：$h=\frac{120}{17}$.

$\left(1\right)\because$实数$x$的立方根是$2$，
$\therefore x=8$，
又$\because$实数$y$、$z$满足$\left(y-z+2\right)^{2}=-\sqrt{y-15}$，
$\therefore y-z+2=0$，$y-15=0$，
解得，$y=15$，$z=17$，
答：$x=8$，$y=15$，$z=17$；
$(2)\triangle ABC$是直角三角形；
$\because x^{2}+y^{2}=64+225=189=17^{2}=z^{2}$，
$\therefore$以$x$、$y$、$z$为边长的$\triangle ABC$是直角三角形，
根据面积公式可知，$8\times 15\div 2=17\cdot h\div 2$，
解得：$h=\frac{120}{17}$.