$\left(1\right)y=x^{2}-2x-3$
$=(x^{2}-2x+1-1)-3$
$=\left(x-1\right)^{2}-4$，
$\therefore$对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$\left(1,-4\right)$；
$(2)$抛物线的顶点坐标为$\left(1,-4\right)$，
当$x=0$时，$y=x^{2}-2x-3=-3$，则抛物线与$y$轴的交点坐标为$\left(0,-3\right)$；
当$y=0$时，$x^{2}-2x-3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，则抛物线与$x$轴的交点坐标为$\left(-1,0\right)$，$\left(3,0\right)$；
如图，

$(3)$由图象知，当$x \lt 1$时，$y$随$x$的增大而减小.

$\left(1\right)y=x^{2}-2x-3$
$=(x^{2}-2x+1-1)-3$
$=\left(x-1\right)^{2}-4$，
$\therefore$对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$\left(1,-4\right)$；
$(2)$抛物线的顶点坐标为$\left(1,-4\right)$，
当$x=0$时，$y=x^{2}-2x-3=-3$，则抛物线与$y$轴的交点坐标为$\left(0,-3\right)$；
当$y=0$时，$x^{2}-2x-3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，则抛物线与$x$轴的交点坐标为$\left(-1,0\right)$，$\left(3,0\right)$；
如图，

$(3)$由图象知，当$x \lt 1$时，$y$随$x$的增大而减小.