如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=\frac{4}{3}x+4$与$x$轴$y$轴分别交于点$A$,$B$,点$D$在$y$轴的负半轴上.若将$\triangle DAB$沿直线$AD$折叠,点$B$恰好落在$x$轴负半轴上的点$C$处.
$(1)$求$AB$的长；
$(2)$求点$C$和点$D$的坐标；
$(3)$在$y$轴上是否存在一点$P$,使得$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}{S}_{△OCD}$?若存在,直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.