对于平面直角坐标系$xOy$中的任意线段$MN$,给出如下定义:
线段$MN$上各点到$x$轴距离的最大值,叫做线段$MN$的"轴距",记作$d_{MN}$.例如,如图$1$,点$M\left(-2,-3\right)$,$N\left(4,1\right)$,则线段$MN$的"轴距"为$3$,记作$d_{MN}=3$.将经过点$\left(0,2\right)$且垂直于$y$轴的直线记为直线$y=2$.
$(1)$已知点$A\left(-1,3\right)$,$B\left(2,4\right)$:
①线段$AB$的"轴距"$d_{AB}=$______；
②线段$AB$关于直线$y=2$的对称线段为$CD$,则线段$CD$的"轴距"$d_{CD}=$______；
$(2)$已知点$E\left(-1,m\right)$,$F\left(2,m+2\right)$,线段$EF$关于直线$y=2$的对称线段为$GH$.若$d_{GH}=3$,求$m$的值.