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八年级数学填空题一般
题目
如图,直线CDCD与xx轴、yy轴正半轴分别交于CC、DD两点,∠OCD=45∘\angle OCD=45^{\circ},第四象限的点P(m,n)P\left(m,n\right)在直线CDCD上,且mn=−6mn=-6,则OP2−OC2OP^{2}-OC^{2}的值为______.
知识点：一次函数综合题章节：第4章 一次函数 / 4.4 一次函数的应用

答案与解析

答案

如图，过PP作PE⊥yPE\bot y轴于EE，则OCOC∥PEPE，

∴∠OCD=∠DPE=45∘\therefore \angle OCD=\angle DPE=45^{\circ}，
∵∠DOC=∠DEP=90∘\because \angle DOC=\angle DEP=90^{\circ}，
∴OD=OC\therefore OD=OC，DE=EPDE=EP，
∵P(m,n)\because P\left(m,n\right)，
∴m=OD−n\therefore m=OD-n，
∴OD=m+n\therefore OD=m+n，
两边同时平方得：OD2=m2+n2+2mnOD^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn，
∵mn=−6\because mn=-6，
∴m2+n2=OD2+12\therefore m^{2}+n^{2}=OD^{2}+12，
由勾股定理得：OP2−OC2=m2+(−n)2−OD2=OD2+12−OD2=12OP^{2}-OC^{2}=m^{2}+\left(-n\right)^{2}-OD^{2}=OD^{2}+12-OD^{2}=12，
故答案为1212.

解析

如图，过PP作PE⊥yPE\bot y轴于EE，则OCOC∥PEPE，

∴∠OCD=∠DPE=45∘\therefore \angle OCD=\angle DPE=45^{\circ}，
∵∠DOC=∠DEP=90∘\because \angle DOC=\angle DEP=90^{\circ}，
∴OD=OC\therefore OD=OC，DE=EPDE=EP，
∵P(m,n)\because P\left(m,n\right)，
∴m=OD−n\therefore m=OD-n，
∴OD=m+n\therefore OD=m+n，
两边同时平方得：OD2=m2+n2+2mnOD^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn，
∵mn=−6\because mn=-6，
∴m2+n2=OD2+12\therefore m^{2}+n^{2}=OD^{2}+12，
由勾股定理得：OP2−OC2=m2+(−n)2−OD2=OD2+12−OD2=12OP^{2}-OC^{2}=m^{2}+\left(-n\right)^{2}-OD^{2}=OD^{2}+12-OD^{2}=12，
故答案为1212.

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