A

$(1)$斜面光滑说明摩擦力为$0$，即使用光滑的斜面没有额外功，则拉力做的功等于克服物体重力做的功；把同一物体沿斜面$BA$和$CA$分别拉到顶端$A$时，$G$、$h$均相同，由$W=Gh$可知两次做的功相同，即$W_{1}=W_{2}$；
$(2)$根据图示可知，$L_{BA} \gt L_{CA}$，而$W_{1}=W_{2}$，由$W=FL$可知，$F_{BA} \lt F_{CA}$，即$F_{1} \lt F_{2}$；
$(3)$根据$P=\frac{W}{t}$可知，时间相同，做的功相同，故$P_{1}=P_{2}$；
综上所述，$BCD$错误，$A$正确。
故选：$A$。