题目已知关于
x的方程
x2+3x+k−2=0有两个不相等的实数根.
(1)求
k的取值范围；
(2)设方程的两个根分别为
x1,
x2(x1>x2),若
(x1−1)(x2−1)=−1,求
k的值及方程的根.
知识点：根的判别式章节：第2章 一元二次方程 / 2.3 用公式法求解一元二次方程
答案与解析
答案
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ >0，即
32−4(k−2)>0，
解得
k<417；
(2)∵(x1−1)(x2−1)=−1，
∴x1x2−(x1+x2)+1=−1，
由根与系数的关系可得
x1+x2=−3，
x1⋅x2=k−2，
即
k−2+3+1=−1，
解得
k=−3，
∴方程为
x2+3x−5=0，
Δ=9−4×1×(−5)=29，
∴x=2−3±29，
解得
x1=2−3+29，
x2=2−3−29.
解析
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ >0，即
32−4(k−2)>0，
解得
k<417；
(2)∵(x1−1)(x2−1)=−1，
∴x1x2−(x1+x2)+1=−1，
由根与系数的关系可得
x1+x2=−3，
x1⋅x2=k−2，
即
k−2+3+1=−1，
解得
k=−3，
∴方程为
x2+3x−5=0，
Δ=9−4×1×(−5)=29，
∴x=2−3±29，
解得
x1=2−3+29，
x2=2−3−29.
