A

$\because$正比例函数$y=kx$的图象过第二、四象限，
$\therefore k \lt 0$，
$\because$一元二次方程$x^{2}+x+k=0$，
$\therefore \Delta =1^{2}-4\times 1\times k=1-4k \gt 0$，
$\therefore$该方程有两个不相等的实数根.
故选：$A$.