$(1)$证明：$\because \Delta =\left(-a\right)^{2}-4\left(a-1\right)=a^{2}-4a+4=\left(a-2\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$无论$a$何值，原方程总有实数根；
$(2)$当$a=4$时，方程化为$x^{2}-4x+3=0$，
$(x-1)\left(x-3\right)=0$，
$x-1=0$或$x-3=0$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=3$，
当等腰三角形腰长为$1$，底边长为$3$时，$1+1 \lt 3$，不符合三角形三边的关系，舍去；
当等腰三角形腰长为$3$，底边为$1$，它的周长为$3+3+1=7$.

$(1)$证明：$\because \Delta =\left(-a\right)^{2}-4\left(a-1\right)=a^{2}-4a+4=\left(a-2\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$无论$a$何值，原方程总有实数根；
$(2)$当$a=4$时，方程化为$x^{2}-4x+3=0$，
$(x-1)\left(x-3\right)=0$，
$x-1=0$或$x-3=0$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=3$，
当等腰三角形腰长为$1$，底边长为$3$时，$1+1 \lt 3$，不符合三角形三边的关系，舍去；
当等腰三角形腰长为$3$，底边为$1$，它的周长为$3+3+1=7$.